정적분과 급수(구분구적법) 연습문제 — Active Calculus · 4.2절 · 9번

Active Calculus · 4.2절 · 9번우리말 번역

$S$ 를 다음과 같은 합이라고 하자.

$S = ((1.4)^2 + 1) \cdot 0.4 + ((1.8)^2 + 1) \cdot 0.4 + ((2.2)^2 + 1) \cdot 0.4 + ((2.6)^2 + 1) \cdot 0.4 +((3.0)^2 + 1) \cdot 0.4\,.$

(a) $S$ 가 오른쪽 리만 합이라고 가정하세요. $S$ 가 어떤 함수 $f$ 와 어떤 구간 $[a,b]$ 에 대한 이 함수의 리만 합인지 구하고, 그 이유를 설명하세요. (b) $S$ 가 왼쪽 리만 합이라면 (a)의 답은 어떻게 달라지는지 설명하세요. 중점 리만 합이라면 어떻게 달라지는지 설명하세요. (c) $S$ 가 정말로 오른쪽 리만 합이라고 하세요. $S$ 는 어떤 기하학적 양을 근사하는지 구하세요. (d) 시그마 기호를 사용하여, 같은 함수에 대한 오른쪽 리만 합이면서 $S$ 보다 부분구간의 개수가 두 배인 새로운 합 $R$ 을 나타내세요.

영어 원문 보기

Let $S$ be the sum given by

$S = ((1.4)^2 + 1) \cdot 0.4 + ((1.8)^2 + 1) \cdot 0.4 + ((2.2)^2 + 1) \cdot 0.4 + ((2.6)^2 + 1) \cdot 0.4 +((3.0)^2 + 1) \cdot 0.4\,.$

(a) Assume that $S$ is a right Riemann sum. For what function $f$ and what interval $[a,b]$ is $S$ this function's Riemann sum? Why? (b) How does your answer to (a) change if $S$ is a left Riemann sum? a middle Riemann sum? (c) Suppose that $S$ really is a right Riemann sum. What is geometric quantity does $S$ approximate? (d) Use sigma notation to write a new sum $R$ that is the right Riemann sum for the same function, but that uses twice as many subintervals as $S$ .

정답·풀이 보기

(a) 함수는 $x_1 = 1.4$ , $x_2 = 1.8$ , $x_3 = 2.2$ , $x_4 = 2.6$ , $x_5 = 3.0$ 에서 계산되고 있다. 따라서 이것이 오른쪽 리만 합이므로 부분구간은 $5$ 개이고 $\triangle x = 0.4$ 이며 $x_0 = 1.0$ 이다. 이 규칙으로부터 함수는 구간 $[1,3]$ 에서 $f(x) = x^2 + 1$ 이어야 함을 알 수 있다. (b) 대신 $S$ 가 왼쪽 리만 합이라면 $x_i$ 들이 왼쪽으로 이동하여 $x_0 = 1.4$ , $x_1 = 1.8$ , $\ldots$ , $x_5 = 3.4$ 가 된다. 이 경우 함수는 같지만 구간은 $[1.4, 3.4]$ 이다. $S$ 가 중점 리만 합이라면, 예를 들어 $1.4$ 는 길이가 $\triangle x = 0.4$ 인 구간의 중점이므로 $x_0 = 1.2$ , $x_1 = 1.6$ 이다. 이 규칙을 계속 적용하면 함수 $f(x) = x^2 + 1$ 을 구간 $[1.2, 3.2]$ 에서 생각하게 된다. (c) $S$ 는 $[1,3]$ 에서 $f(x) = x^2 + 1$ 의 그래프 아래쪽에 놓인 넓이를 근사한 값이다. (d) 부분구간을 두 배로 하려면 $\triangle x = 0.2$ 로 바꾸므로 $x_1 = 1.2$ , $x_2 = 1.4$ , …이고, 일반적인 오른쪽 끝점은 $x_i = 1 + 0.2 \cdot i$ 이다. 또한 $n = 10$ 이므로 $R_{10} = \sum_{i=1}^{10} \left( (1+0.2i)^2 + 1 \right) \cdot 0.2\,.$

원본 교재 풀이(영어)

(a) The function is being evaluated at $x_1 = 1.4$ , $x_2 = 1.8$ , $x_3 = 2.2$ , $x_4 = 2.6$ , and $x_5 = 3.0$ . Thus, since we know this is a right Riemann sum, we are using $5$ subintervals with $\triangle x = 0.4$ , and $x_0 = 1.0$ . From the pattern, we observe that the function must be $f(x) = x^2 + 1$ on the interval $[1,3]$ . (b) If $S$ is a left Riemann sum instead, then the $x_i$ 's shift left: $x_0 = 1.4$ , $x_1 = 1.8$ , $\ldots$ , $x_5 = 3.4$ . In this setting, the function is identical, but we are considering it on the interval $[1.4, 3.4]$ . If $S$ is a middle Riemann sum, then (for example) $1.4$ is the midpoint of an interval $\triangle x = 0.4$ units long, so $x_0 = 1.2$ and $x_1 = 1.6$ . Continuing that trend, we'd be considering the function $f(x) = x^2 + 1$ on the interval $[1.2, 3.2]$ . (c) $S$ is an approximation of the area that lies under $f(x) = x^2 + 1$ on $[1,3]$ . (d) To use twice as many subintervals, we move to $\triangle x = 0.2$ and thus $x_1 = 1.2$ , $x_2 = 1.4$ , and so on, with the general right endpoint being given by $x_i = 1 + 0.2 \cdot i$ . We'll also have $n = 10$ , so $R_{10} = \sum_{i=1}^{10} \left( (1+0.2i)^2 + 1 \right) \cdot 0.2\,.$

한 번 더 — 비슷한 문제Active Calculus · 4.2절 · 8번우리말 번역

함수 $f(x) = 3x + 4$ 를 생각하세요.

(a) 구간 $[2,5]$ 에서 $y=f(x)$ 에 대한 $M_4$ 를 구하세요. $\Delta x$ 의 값과 $x_0, x_1, \ldots, x_4$ 의 위치를 분명하게 밝히세요. 함수의 그래프와 합에 사용된 직사각형들을 정확하게 그려 넣으세요. (b) 익숙한 기하 공식을 사용하여, $[2,5]$ 에서 $y = f(x)$ 와 $x$ 축으로 유계인 영역의 넓이의 정확한 값을 구하세요. (c) (a)와 (b)에서 구한 값이 같게 나오는 이유를 설명하세요. $n = 4$ 가 아닌 다른 수를 사용하여 $M_n$ 을 구해도 이것이 참일까요? $L_4$ 나 $R_4$ 는 (b)에서 구한 영역의 정확한 넓이와 같은 값을 가질까요? (d) 구간 $[a,b]$ 에서 함수 $g$ 와 $x$ 축 사이에 유계인 부호 있는 순넓이를, $n$ 의 값에 상관없이 $M_n$ 이 항상 정확하게 주는 함수 $g$ 들의 모임을 설명하세요.

다 풀었으면 정답 확인

(a) $[2,5]$ 에서 부분구간을 $4$ 개 사용하므로 $\triangle x = \frac{5-2}{4} = 0.75$ 이다. 따라서 $x_0 = 2$ , $x_1 = 2.75$ , $x_2 = 3.5$ , $x_3 = 4.25$ , 그리고 $x_4 = 5$ 이다. 각 부분구간의 중점은 $\overline{x_1} = \frac{2+2.75}{2} = 2.375$ , $\overline{x_2} = 3.125$ , $\overline{x_3} = 3.875$ , 그리고 $\overline{x_4} = 4.625$ 이다. 그러므로 $\begin{aligned}M_4 &= f(\overline{x_1}) \cdot \triangle x + f(\overline{x_2}) \cdot \triangle x + f(\overline{x_3}) \cdot \triangle x + f(\overline{x_4}) \cdot \triangle x \\ &= \left(f(2.375) + f(3.125) + f(3.875) + f(4.625) \right) \cdot (0.75) \\ &= \left(11.125 + 13.375 + 15.625 + 17.875 \right) \cdot (0.75) \\ &= 58 \cdot 0.75 \\ &= 43.5\end{aligned}$ $M_4$ 의 핵심 부분을 나타낸 전체 그림은 아래 그림과 같다. 이 이미지에 대체 텍스트를 추가하세요 (b) $f(2) = 10$ 이고 $f(5) = 19$ 임을 알 수 있다. 함수, $x$ 축, 그리고 양 끝점으로 유계인 영역은 사다리꼴이다. 사다리꼴의 넓이는 두 밑변의 평균에 높이를 곱한 것임을 떠올리면, 이 유계인 영역의 넓이는 $A = \frac{1}{2}(10 + 19)(5-2) = \frac{87}{2}\,$ 이다. (c) $M_4$ 가 직선과 $x$ 축 사이의 정확한 넓이를 주는 이유는, 중점에서의 함숫값을 높이로 하는 직사각형이 각 부분구간의 두 끝점에서의 함숫값으로 만들어지는 사다리꼴과 넓이가 같기 때문이다. 다음 그림에서 보듯이, 중점 직사각형이 둘러싸는 "넘치는 넓이"가 중점 직사각형에서 빠져 있는 "모자란 넓이"와 정확히 일치한다는 점에서도 이를 알 수 있다. 이 두 양이 서로 상쇄되므로, 중점 직사각형들의 넓이는 곡선 아래의 정확한 넓이를 준다. 이 이미지에 대체 텍스트를 추가하세요 실제로 $M_n$ 의 값은 $n$ 의 어떤 값에 대해서도 $[2,5]$ 에서 $g$ 아래의 정확한 넓이를 준다. 그러나 $L_n$ 과 $R_n$ 은 정확하지 않다. $L_n$ 은 모든 직사각형이 함수 $g$ 의 아래에 완전히 놓이므로 실제 넓이보다 작게 어림하고, $R_n$ 은 모든 직사각형이 함수 위에 놓이므로 실제 넓이보다 크게 어림한다. (d) $g(x) = mx + b$ 꼴의 일차함수 $g$ 중에서, 다루는 구간에서 $g(x) \ge 0$ 이면 중점 법칙은 함수와 $x$ 축으로 유계인 영역의 넓이의 정확한 값을 준다. 이는 주어진 부분구간에서 두 끝점으로 만들어지는 사다리꼴의 넓이가, 그 부분구간의 중점에서의 함숫값을 높이로 하는 직사각형의 넓이와 같기 때문이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 정적분과 급수(구분구적법)계산자동 분류