수치적분 연습문제 — Active Calculus · 5.6절 · 5번

Active Calculus · 5.6절 · 5번대학 수준우리말 번역

정적분 $\int_0^1 x \tan(x) \, dx$ 를 생각하세요.

(a) 이 적분을 $u$ -치환이나 부분적분으로는 정확하게 계산할 수 없는 이유를 설명하세요. (b) 적절한 부분구간을 사용하여 $L_4$ , $R_4$ , $M_4$ , $T_4$ , $S_8$ 을 계산하세요. (c) (b)의 근삿값 중 $\int_0^1 x \tan(x) \, dx$ 의 참값보다 큰 값은 어느 것입니까? 작은 값은 어느 것입니까? 그 이유는 무엇인지 설명하세요.

영어 원문 보기

Consider the definite integral $\int_0^1 x \tan(x) \, dx$ .

(a) Explain why this integral cannot be evaluated exactly by using either $u$ -substitution or by integrating by parts. (b) Using appropriate subintervals, compute $L_4$ , $R_4$ , $M_4$ , $T_4$ , and $S_8$ . (c) Which of the approximations in (b) is an over-estimate to the true value of $\int_0^1 x \tan(x) \, dx$ ? Which is an under-estimate? How do you know?

정답·풀이 보기

(a) 함수와 그 도함수의 쌍이 없으므로(합성함수조차 없으므로) $u$ -치환을 사용할 수 없다. 부분적분이 되지 않음을 보이는 것은 더 복잡하지만, 결국 다음 사실로 귀결된다. 자연스러운 선택인 $u = x$ , $dv = \tan(x) \, dx$ 를 쓰면 적분 $\int \ln(\sec(x)) \, dx$ 를 계산해야 하는데, 이 적분은 초등함수로 나타낼 수 있는 원시함수를 갖지 않는 것으로 보인다. 대신 $u = \tan(x)$ , $dv = x \, dx$ 로 놓으면 적분 $\int x^2 \cdot \sec^2(x) \, dx$ 를 계산해야 하는데, 이는 처음 적분보다 더 복잡하고 다시 부분적분을 시도하면 처음 상태로 되돌아가는 것처럼 보인다. (b) 계산 도구를 사용하여 다음 근삿값을 구한다. 값은 소수 $5$ 째 자리까지 정확하게 나타낸 것이다.

$L_4 = 0.25892$
$R_4 = 0.64827$
$M_4 = 0.41550$
$T_4 = \frac{L_4 + R_4}{2} = 0.45360$
$S_8 = \frac{2M_4 + T_4}{3} = 0.42820$ (c) 이 근삿값들이나 $f(x) = x\tan(x)$ 의 그래프로부터, 이 구간에서 $f$ 는 항상 증가하고 아래로 볼록임을 알 수 있다. 따라서 $L_4$ 와 $M_4$ 는 참값보다 작은 값이고, $R_4$ 와 $M_4$ 는 참값보다 큰 값이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) We can't use $u$ -substitution since there's not a function-derivative pair present (nor even a composite function). To show that integration by parts doesn't work is more complicated, but comes down to the fact that if we use the natural choice of $u = x$ and $dv = \tan(x) \, dx$ , to do so requires us to evaluate the integral $\int \ln(\sec(x)) \, dx$ , which appears not to have an elementary antiderivative. If we try instead $u = \tan(x)$ and $dv = x \, dx$ , then we have to evaluate the integral $\int x^2 \cdot \sec^2(x) \, dx$ which is more complicated than the integral we started with and would seem to send us back where we started if we attempt integration by parts. (b) We use computational technology to generate the following estimates, which are reported to $5$ decimal places of accuracy:

$L_4 = 0.25892$
$R_4 = 0.64827$
$M_4 = 0.41550$
$T_4 = \frac{L_4 + R_4}{2} = 0.45360$
$S_8 = \frac{2M_4 + T_4}{3} = 0.42820$ (c) From the values of these estimates or from the graph of $f(x) = x\tan(x)$ , we can observe that $f$ is always increasing and concave up on the interval. Thus, $L_4$ and $M_4$ are underestimates while $R_4$ and $M_4$ are overestimates.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 1.11절 · 31번우리말 번역

$f(x)$ 를 $f''(x) = \dfrac{x^2}{x+1}$ 을 만족하는 함수라고 하세요. (예를 들어 $f(x)=\frac{1}{6}x^3-\frac{1}{2}x^2+(1+x)\log|x+1|$ 이면 되지만, 이 문제에서는 $f(x)$ 가 무엇인지 알 필요가 없습니다.)

(a) $x$ 가 구간 $[0,1]$ 에 있을 때마다 $|f''(x)| \leq 1$ 임을 보이세요. (b) 구간 $[0,1]$ 에서 $|f''(x)|$ 의 최댓값을 구하세요. (c) $M=1$ 이라고 가정할 때, $\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)~\mathrm{d}x$ 를 오차 $10^{-5}$ 이내로 어림하려면 구간을 몇 개 사용해야 하는지 구하세요. (d) (b)에서 구한 $M$ 의 값을 사용할 때, $\displaystyle\int_0^1 f(x)~\mathrm{d}x$ 를 오차 $10^{-5}$ 이내로 어림하려면 구간을 몇 개 사용해야 하는지 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

(a) $0 \leq x \leq1$ 일 때 $x^2 \leq 1$ 이고 $x+1 \geq 1$ 이므로 $|f''(x)| = \dfrac{x^2}{|x+1|}\leq \dfrac{1}{1}=1$ 이다. (b) 닫힌구간에서 함수의 최댓값을 구하려면, 구간의 양 끝점과 구간 안의 임계점에서 함수의 값을 조사한다. 임계점은 함수의 도함수가 0이거나 존재하지 않는 점이다.

최대화하려는 함수는 $|f''(x)| = \frac{x^2}{|x+1|} = \frac{x^2}{x+1}=f''(x)$ 이다 (구간에 음이 아닌 수만 있기 때문이다). 따라서 임계점은 $f'''(x) = 0$ 이거나 존재하지 않을 때 나타난다. 몫의 미분법을 이용하여 $f'''(x)$ 를 구한다.

$\begin{aligned} f'''(x)&=\frac{(x+1)(2x)-x^2}{(x+1)^2}=\frac{x^2+2x}{(x+1)^2}\\ 0&=\frac{x(x+2)}{x+1}\\ 0&=x \quad\text{또는}\quad x=-1\quad\text{또는}\quad x=-2 \end{aligned}$

$[0,1]$ 에 있는 임계점은 $x=0$ 뿐이다. 따라서 $[0,1]$ 에서 $f''(x)$ 의 극값은 양 끝점에서 나타난다. 실제로 $[0,1]$ 에 속하는 모든 $x$ 에 대해 $f'''(x) \geq 0$ 이므로 $f''(x)$ 는 이 구간에서 증가하고, 따라서 최댓값은 $x=1$ 에서 나타난다. 즉, $|f''(x)|\leq f''(1)=\frac{1}{2}$ (c) 중점법을 사용할 때 절대 오차는 최대 $\dfrac{M(b-a)^3}{24n^2}$ 이다. $M=1$ 을 사용하여 이 값이 $10^{-5}$ 이하가 되게 하려면, 다음 계산으로 알맞은 $n$ 의 값을 구한다.

$\begin{aligned} \dfrac{M(b-a)^3}{24n^2}&\leq 10^{-5}\\ \dfrac{1}{24n^2}&\leq 10^{-5}&(b-a=1,\,M=1)\\ \frac{10^5}{24} & \leq n^2\\ n & \geq 65 \end{aligned}$ (d) 중점법을 사용할 때 절대 오차는 최대 $\dfrac{M(b-a)^3}{24n^2}$ 이다. $M=\frac{1}{2}$ 을 사용하여 이 값이 $10^{-5}$ 이하가 되게 하려면, 다음 계산으로 알맞은 $n$ 의 값을 구한다.

$\begin{aligned} \dfrac{M(b-a)^3}{24n^2}&\leq 10^{-5}\\ \dfrac{1}{48n^2}&\leq 10^{-5}&(b-a=1,\,M=\frac{1}{2})\\ \frac{10^5}{48} & \leq n^2\\ n & \geq 46 \end{aligned}$

참고: 이러한 계산을 얼마나 정확하게 할지는 상황에 따라 크게 달라진다. 예를 들어 $M$ 을 손으로 구하고, 이를 이용해 $n$ 을 손으로 구한 다음, 근삿값을 계산하도록 컴퓨터를 프로그래밍한다고 하자. 이처럼 간단한 적분에서는 구간 65개와 46개의 계산 시간 차이가 아주 작을 것이다. 따라서 (b)에서 추가로 하는 수고로 얻는 이점은 많지 않다. 그러나 처음의 대충 구한 $M$ 으로 $n=1000000$ 정도가 나왔다면, 계산 시간을 줄이기 위해 $M$ 을 개선하는 데 시간을 들일 만하다. 또한 근삿값을 손으로 구한다면 46개의 항을 더하는 것과 65개의 항을 더하는 것의 차이는 상당할 것이므로, 가능한 한 가장 정확한 $M$ 을 구하는 수고를 미리 들이는 것이 좋을 것이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 수치적분계산자동 분류