수치적분 연습문제 — Active Calculus · 5.6절 · 6번

Active Calculus · 5.6절 · 6번대학 수준우리말 번역

알려지지 않은 함수 $f(x)$ 에 대해 다음 정보가 주어져 있다.

$f$ 는 $[3,6]$ 에서 연속이다.
$f$ 는 $[3,6]$ 에서 항상 증가하거나 항상 감소한다.
$f$ 는 구간 $[3,6]$ 전체에서 오목성이 같다.
$\int_3^6 f(x) \, dx$ 의 근삿값으로 $L_4 = 7.23$ , $R_4 = 6.75$ , $M_4 = 7.05$ 이다.

(a) $f$ 는 $[3,6]$ 에서 증가하나요, 감소하나요? 어떤 자료로 알 수 있는지 설명하세요. (b) $f$ 는 $[3,6]$ 에서 아래로 볼록한가요, 위로 볼록한가요? 그 이유를 설명하세요. (c) 주어진 정보를 바탕으로 $\int_3^6 f(x) \, dx$ 에 대한 가능한 한 가장 좋은 추정값을 구하세요.

영어 원문 보기

For an unknown function $f(x)$ , the following information is known.

$f$ is continuous on $[3,6]$ ;
$f$ is either always increasing or always decreasing on $[3,6]$ ;
$f$ has the same concavity throughout the interval $[3,6]$ ;
As approximations to $\int_3^6 f(x) \, dx$ , $L_4 = 7.23$ , $R_4 = 6.75$ , and $M_4 = 7.05$ .

(a) Is $f$ increasing or decreasing on $[3,6]$ ? What data tells you? (b) Is $f$ concave up or concave down on $[3,6]$ ? Why? (c) Determine the best possible estimate you can for $\int_3^6 f(x) \, dx$ , based on the given information.

정답·풀이 보기

(a) $L_4 = 7.23 > 6.75 = R_4$ 이고 함수가 항상 증가하거나 항상 감소한다는 것을 알고 있으므로, 왼쪽 끝점 방법의 값이 오른쪽 끝점 방법의 값보다 크려면 $f$ 는 항상 감소해야 한다. (b) 주어진 자료로부터 다음을 알 수 있다. $T_4 = \frac{L_4 + R_4}{2} = \frac{7.23 + 6.75}{2} = 6.99\,.$ $M_4 = 7.05$ 이므로 $R_4 < T_4 < M_4 < L_4\,.$ 특히 이 함수는 구간에서 항상 감소할 뿐만 아니라 위로 볼록하다는 것도 알 수 있다. 오목성이 일정하므로, 사다리꼴 공식이 참값보다 작게 추정하면 중점 공식은 참값보다 크게 추정한다(또는 그 반대이다). $T_4 < M_4$ 이므로 $T_4 < \int_3^6 f(x) \, dx < M_4$ 이고, $f$ 는 이 구간에서 위로 볼록해야 한다. (c) 정적분에 대한 가장 좋은 추정값을 구하기 위해 심프슨 공식을 사용한다. 즉, $\begin{aligned}\int_3^6 f(x) \, dx &\approx S_8 \\ &= \frac{2M_4 + T_4}{3} \\ &= \frac{2 \cdot 7.05 + 6.99}{3} \\ &=7.03\end{aligned}\,.$

원본 교재 풀이(영어)

(a) Because $L_4 = 7.23 > 6.75 = R_4$ and we know the function is always increasing or always decreasing, for the left endpoint rule to give a value greater than the right endpoint rule, $f$ must be always decreasing. (b) From the given data, we know that $T_4 = \frac{L_4 + R_4}{2} = \frac{7.23 + 6.75}{2} = 6.99\,.$ Since $M_4 = 7.05$ , it follows that $R_4 < T_4 < M_4 < L_4\,.$ In particular, we know that the function is not only always decreasing on the interval, but it also concave down. Because the concavity is constant, it follows that if the trapezoid rule under-estimates the true value, then the midpoint rule must over-estimate the true value (or vice-versa). Since $T_4 < M_4$ , this means that $T_4 < \int_3^6 f(x) \, dx < M_4$ and that $f$ must be concave down on the interval. (c) We use Simpson's Rule to determine the best possible estimate for the definite integral. That is, $\begin{aligned}\int_3^6 f(x) \, dx &\approx S_8 \\ &= \frac{2M_4 + T_4}{3} \\ &= \frac{2 \cdot 7.05 + 6.99}{3} \\ &=7.03\end{aligned}\,.$

한 번 더 — 비슷한 문제Active Calculus · 5.6절 · 7번우리말 번역

미주리주 브랜슨의 화이트 강에 있는 테이블 록 댐을 통과하는 물의 흐름 속도는 초당 세제곱피트(CFS)로 측정한다. 기술자들이 수문을 열면서 유량을 기록한 결과는 다음 표와 같다.

물의 유량 자료.

시간(초), $t$	$0$	$10$	$20$	$30$	$40$	$50$	$60$
유량(CFS), $r(t)$	$2000$	$2100$	$2400$	$3000$	$3900$	$5100$	$6500$

(a) 위 표에 주어진 60초 동안 댐을 통과한 물의 전체 부피를 나타내는 정적분은 무엇인가요? (b) 주어진 자료를 이용하여, (a)에서 구한 적분을 어림하기 위해 $n$ 이 가능한 가장 큰 값일 때의 $M_n$ 을 계산하세요. $M_n$ 이 적분의 정확한 값보다 크다고 생각하나요, 작다고 생각하나요? 그 이유는 무엇인가요? (c) 주어진 자료를 바탕으로, $n$ 이 가능한 가장 큰 값일 때의 $S_n$ 을 계산하여 (a)에서 구한 적분을 어림하세요. (d) $\frac{1}{60} S_n$ 과 $\frac{2000+2100+2400+3000+3900+5100+6500}{7}$ 을 계산하세요. 이 두 값은 모두 어떤 양을 어림한 것인가요? 어느 쪽이 더 정확한 어림값인가요?

다 풀었으면 정답 확인

(a) $r(t)$ 는 초당 세제곱피트로, $\triangle t$ 는 초로 측정되므로 정적분 $\int_0^{60} r(t) \, dt$ 은 60초 동안 댐을 통과한 물의 전체 양(세제곱피트)을 나타낸다. (b) 함숫값이 $7$ 개이므로 사용할 수 있는 구간의 최대 개수는 $6$ 이다. 함숫값을 계산할 때 자료를 하나씩 건너뛰어 써야 하므로 $M_3$ 을 계산할 수 있다. 이렇게 계산하면 $\begin{aligned}\int_0^{60} r(t) \, dt &\approx M_3 \\ &= r(10) \cdot 20 + r(30) \cdot 20 + r(50) \cdot 20 \\ &= (2100 + 3000 + 5100) \cdot 20 \\ &= 204000\end{aligned}\,.$ 따라서 $0 \le t \le 60$ 동안 댐을 통과한 물은 약 $204 000$ 세제곱피트이다. $0 \le t \le 60$ 에서 $r$ 은 증가하는 비율이 점점 커지며 증가하는 것으로 보인다. 특히 자료로 보아 이 구간에서 $r$ 은 아래로 볼록이다. 따라서 사다리꼴 공식은 정적분의 참값보다 크게 어림하고, 중점 공식은 참값보다 작게 어림한다. 그러므로 $\int_0^{60} r(t) \, dt > M_3 = 204000\,.$ (c) $S_6$ 으로 적분을 어림하려면 $M_3$ 과 함께 $T_3$ 의 값을 알아야 한다. $T_3$ 을 구하기 위해 $L_3$ 과 $R_3$ 을 계산한다. 먼저 $L_3 = r(0) \cdot 20 + r(20) \cdot 20 + r(40) \cdot 20 = (2000 + 2400 + 3900) \cdot 20 = 166000\,.$ 마찬가지로 $R_3 = r(20) \cdot 20 + r(40) \cdot 20 + r(60) \cdot 20 = (2400 + 3900 + 6500) \cdot 20 = 256000\,.$ 따라서 $T_3 = \frac{L_3 + R_3}{2} = \frac{166000 + 256000}{2} = 211000\,.$ 이제 $S_6$ 을 계산하는 데 필요한 값을 모두 구했다. 그러므로 $\int_0^{60} r(t) \, dt \approx S_6 = \frac{2M_3 + T_3}{3} = \frac{2 \cdot 204000 + 211000}{3} = \frac{619000}{3} \approx 206333.33\,.$ (d) 먼저 $\frac{1}{60} S_6 = \frac{206333.33}{60} = \frac{30950}{9} \approx 3438.89\,.$ 이 값은 $[0,60]$ 에서 $r$ 의 평균값을 어림한 하나의 값이다. 그 이유는 $r_{\operatorname{AVG} [0,60]} = \frac{1}{60-0} \int_0^{60} r(t) \, dt\,,$ 이고 $\int_0^{60} r(t) \, dt \approx S_6$ 이기 때문이다. 따라서 평균적으로 물은 초당 $3438.89$ 세제곱피트의 속도로 댐을 통과한다. 다음으로 $\frac{2000+2100+2400+3000+3900+5100+6500}{7} = \frac{25000}{7} \approx 3571.43$ 은 구간 $[0,60]$ 에서 알려진 $r(t)$ 의 값 $7$ 개의 평균이므로, 이것도 $r$ 의 평균값을 어림한 하나의 값이다. 이 평균은 모든 값을 똑같이 취급한다. 반면 $S_6$ 은 양 끝점보다 중점을 더 크게 반영하며, $L_6$ 과 $R_6$ 같은 단순한 어림값에 내재한 오차의 일부를 없애도록 만들어진 것이다. $7$ 개의 속도 값의 이 단순 평균은 왼쪽 또는 오른쪽 리만 합을 사용하는 것과 비슷하므로, $S_6$ 으로 구한 $r$ 의 평균값 어림값이 댐을 통과하는 물의 평균 속도를 구하는 데 더 정확하다고 예상할 수 있다.

이 문제로 이어서 풀기

# 수치적분계산자동 분류