밀도·질량과 질량중심 연습문제 — Active Calculus · 6.3절 · 7번

Active Calculus · 6.3절 · 7번대학 수준우리말 번역

곡선 $y = f(x) = 2xe^{-1.25x} + (30-x) e^{-0.25(30-x)}$ 을 생각하세요.

(a) 이 곡선을 창 $x = 0 \ldots 30$ , $y = 0 \ldots 3$ 에서 (눈금 비율을 고정하여 $x$ 축과 $y$ 축의 단위 길이가 같도록) 그리고, 이를 $x$ 축을 중심으로 회전시켜 회전체를 만드세요. 이 곡선이 야구 방망이의 적절한 모형이 될 수 있는 이유를 설명하세요. (b) $x$ 와 $y$ 를 인치 단위로 측정한다고 하세요. 주어진 곡선을 $x$ 축을 중심으로 회전시켜 만든 야구 방망이의 전체 부피를 구하세요. 답에 단위를 쓰세요. (c) 야구 방망이의 무게 밀도가 일정하고, 그 무게 밀도가 세제곱인치당 $0.6$ 온스라고 하세요. (b)에서 구한 부피를 갖는 방망이의 전체 무게를 구하세요. (d) 야구 방망이는 단면의 넓이가 일정하지 않으므로, 방망이를 따라 위치 $x$ 에 집중된 무게는 위치 $x$ 에서의 얇은 조각의 부피에 의해 정해짐을 알 수 있다. 함수 $\rho(x) = 0.6 \pi f(x)^2$ (여기서 $f$ 는 문제 처음에 주어진 함수이다)을 $x = 0$ 에서 $x = 30$ 까지 야구 방망이의 무게가 분포하는 방식을 나타내는 무게 밀도 함수로 생각할 수 있는 이유를 설명하세요. (e) 야구 방망이의 질량중심을 계산하세요.

영어 원문 보기

Consider the curve given by $y = f(x) = 2xe^{-1.25x} + (30-x) e^{-0.25(30-x)}$ .

(a) Plot this curve in the window $x = 0 \ldots 30$ , $y = 0 \ldots 3$ (with constrained scaling so the units on the $x$ and $y$ axis are equal), and use it to generate a solid of revolution about the $x$ -axis. Explain why this curve could generate a reasonable model of a baseball bat. (b) Let $x$ and $y$ be measured in inches. Find the total volume of the baseball bat generated by revolving the given curve about the $x$ -axis. Include units on your answer. (c) Suppose that the baseball bat has constant weight density, and that the weight density is $0.6$ ounces per cubic inch. Find the total weight of the bat whose volume you found in (b). (d) Because the baseball bat does not have constant cross-sectional area, we see that the amount of weight concentrated at a location $x$ along the bat is determined by the volume of a slice at location $x$ . Explain why we can think about the function $\rho(x) = 0.6 \pi f(x)^2$ (where $f$ is the function given at the start of the problem) as being the weight density function for how the weight of the baseball bat is distributed from $x = 0$ to $x = 30$ . (e) Compute the center of mass of the baseball bat.

정답·풀이 보기

(a) 이 그래프는 구간 0,30 에서 함수 y = f(x) = 2xe -1.25x + (30-x) e -0.25(30-x) 의 그래프와, 설명된 회전체를 만들기 위해 이 그래프를 x축에 대해 대칭이동한 그래프를 보여 준다. 위에 나타낸 그래프(회전체를 만들기 위해 곡선을 $x$ 축에 대해 대칭이동한 것 포함)는 이 회전체가 야구 방망이의 적절한 근사인 이유를 보여 준다(다만 $x = 3$ 과 $x = 9$ 사이에서는 약간 가늘 수도 있다). (b) 원판법을 사용하여 회전체의 부피를 구한다. 통상적인 방법으로 대표적인 조각의 부피는 $V_{\text{조각}} \approx \pi (2xe^{-1.25x} + (30-x) e^{-0.25(30-x)})^2 \triangle x$ 이므로, 정적분을 사용하여 조각들의 부피를 더하면 $V = \int_0^{30} \pi (2xe^{-1.25x} + (30-x) e^{-0.25(30-x)})^2 \, dx\,$ 를 얻는다. 계산 도구로 이 적분을 계산하면 $V \approx 52.0666$ 세제곱인치이다. (c) 방망이의 (일정한) 무게 밀도가 세제곱인치당 $0.6$ 온스이므로, 방망이의 전체 무게는 $W \approx 0.6 \cdot 52.0666 = 31.23996$ 온스이다. (d) 야구 방망이를 수평축에 수직으로 자르면 단면은 얇은 원기둥 모양의 원판이 된다. 주어진 $x$ 위치에 집중된 무게는 대략 무게 밀도(세제곱인치당 $0.6$ 온스)에 조각의 부피를 곱한 값이며, 조각의 부피는 $V_{text{slice}} \approx \pi f(x)^2$ 이다. 따라서 방망이를 따라 위치 $x$ 에 집중된 무게는 $\rho(x) = 0.6 \pi f(x)^2$ 으로 주어지므로, 이것을 $x = 0$ 에서 $x = 30$ 까지 야구 방망이의 무게가 분포하는 방식을 나타내는 무게 밀도 함수로 볼 수 있다. (e) “질량”이 아닌 “무게”를 다루고 있지만, 무게는 질량과 중력 상수만큼만 차이가 나고 이 상수는 질량중심의 분자와 분모에 모두 들어 있으므로, 통상적인 방법으로 질량중심을 계산할 수 있다. 따라서 표준 공식 $\overline{x} = \frac{\int_0^{30} x \rho(x) \ dx}{\int_0^{30} \rho(x) \ dx}$ 을 사용하면 $\begin{aligned}\overline{x} &= \frac{\int_0^{30} x \cdot 0.6 \pi (2xe^{-1.25x} + (30-x) e^{-0.25(30-x)})^2) \ dx}{\int_0^{30} 0.6 \pi (2xe^{-1.25x} + (30-x) e^{-0.25(30-x)})^2 \ dx} \\ &= \frac{\int_0^{30} x \cdot (2xe^{-1.25x} + (30-x) e^{-0.25(30-x)})^2) \ dx}{\int_0^{30} (2xe^{-1.25x} + (30-x) e^{-0.25(30-x)})^2 \ dx} \\ &\approx \frac{384.735}{16.5733} = 23.21415\end{aligned}\,$ 이므로, 질량중심은 방망이 길이의 약 2/3 지점을 조금 넘은 곳에 있다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) This plot shows the function y = f(x) = 2xe -1.25x + (30-x) e -0.25(30-x) on the interval 0,30 and its reflection across the x-axis to form the described solid of revolution. The plot shown above (with the curve reflected across the $x$ -axis to generate the solid of revolution) shows why this solid of revolution is a reasonable approximation to a baseball bat (if perhaps a bit thin between $x = 3$ and $x = 9$ . (b) We use the disk method to find the volume of the solid of revolution. In the usual way, the volume of a typical slice is $V_{\text{slice}} \approx \pi (2xe^{-1.25x} + (30-x) e^{-0.25(30-x)})^2 \triangle x$ and thus using a definite integral to sum the volumes of the slices, we get $V = \int_0^{30} \pi (2xe^{-1.25x} + (30-x) e^{-0.25(30-x)})^2 \, dx\,.$ Using technology to evaluate the integral, we find that $V \approx 52.0666$ cubic inches. (c) Given that the bat has (constant) weight density $0.6$ ounces per cubic inch, it follows that the total weight of the bat is $W \approx 0.6 \cdot 52.0666 = 31.23996$ ounces. (d) If we slice the baseball bat perpendicular to the horizontal axes, we get thin cylindrical disks as cross-sections. At a given $x$ -location, the amount of weight concentrated there is approximately the weight density ( $0.6$ ounces per cubic inch) times the volume of the slice, which is $V_{text{slice}} \approx \pi f(x)^2$ . Thus, we see that the amount of weight concentrated at a location $x$ along the bat is given by $\rho(x) = 0.6 \pi f(x)^2$ , which we can therefore view as being the weight density function for how the weight of the baseball bat is distributed from $x = 0$ to $x = 30$ . (e) Even though we are dealing with “weight” instead of “mass”, we can compute the center of mass in the usual way since weight differs from mass only by the gravitational constant, and this constant is present in both the numerator and denominator of the center of mass. Thus, using the standard formula, $\overline{x} = \frac{\int_0^{30} x \rho(x) \ dx}{\int_0^{30} \rho(x) \ dx}$ so $\begin{aligned}\overline{x} &= \frac{\int_0^{30} x \cdot 0.6 \pi (2xe^{-1.25x} + (30-x) e^{-0.25(30-x)})^2) \ dx}{\int_0^{30} 0.6 \pi (2xe^{-1.25x} + (30-x) e^{-0.25(30-x)})^2 \ dx} \\ &= \frac{\int_0^{30} x \cdot (2xe^{-1.25x} + (30-x) e^{-0.25(30-x)})^2) \ dx}{\int_0^{30} (2xe^{-1.25x} + (30-x) e^{-0.25(30-x)})^2 \ dx} \\ &\approx \frac{384.735}{16.5733} = 23.21415\end{aligned}\,,$ so the center of mass is just over 2/3 along the length of the bat.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 2.3절 · 26번우리말 번역

(a) $y = e^x$ , $x = 0$ , $x = 1$ , $y = -1$ 로 둘러싸인 영역의 무게중심의 $y$ 좌표를 구하세요.

(b) (a)의 영역을 직선 $y = -1$ 을 축으로 회전시켜 생기는 회전체의 부피를 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

(a) 다음은 주어진 영역의 그림이며, 이 영역을 $R$ 라 하자.

$R$ 의 위쪽 경계는 방정식 $y=T(x)=e^x$ 이고, 아래쪽 경계는 방정식 $y=B(x)=-1$ 이며 $x$ 는 $0$ 에서 $1$ 까지 변한다. 따라서 세로로 가느다란 띠를 이용하면 $R$ 의 넓이는 다음과 같다.

$\begin{aligned} A & = \int_0^1 \big[T(x)-B(x)\big]\,\mathrm{d}x = \int_0^1 \big[e^x-(-1)\big]\,\mathrm{d}x = \int_0^1 \big[e^x+1\big]\,\mathrm{d}x = \big[e^x+x\big]_0^1 = e \end{aligned}$

그리고

$\begin{aligned} \bar y &=\frac{1}{2A} \int_0^1 \big[T(x)^2-B(x)^2\big]\,\mathrm{d}x \\ &= \frac{1}{2e}\int_0^1 \big[ e^{2x} - 1\ \big] \,\mathrm{d}x = \frac{1}{2e} \bigg[\frac{e^{2x}}{2} - x \bigg]_0^1 \\ &=\frac{1}{2e} \bigg(\frac{e^2}{2} - 1 - \frac{1}{2} \bigg) = \frac{e}{4} - \frac{3}{4e} \end{aligned}$

(b) $R$ 를 직선 $y=-1$ 을 축으로 회전시킬 때의 부피를 계산하기 위해

위 그림과 같이 폭이 $\mathrm{d}x$ 인 가느다란 세로 띠를 이용한다.
직선 $y=-1$ 을 축으로 회전시키면 각 띠는 얇은 원판을 만들어 내며,
이 원판의 반지름은 $r=T(x)-B(x)=e^x+1$ 이고,
두께는 $\mathrm{d}x$ 이며, 따라서
부피는 $\pi r^2\,\mathrm{d}x = \pi(e^x+1)^2\,\mathrm{d}x$ 이다.
가장 왼쪽 띠가 $x=0$ 에 있고 가장 오른쪽 띠가 $x=1$ 에 있으므로, 전체 부피는 다음과 같다.

$\begin{aligned} \pi \int_0^1 (e^x+1)^2\,\mathrm{d}x &=\pi \int_0^1 (e^{2x}+2e^x+1)\,\mathrm{d}x =\pi\bigg[\frac{e^{2x}}{2}+2e^x + x\bigg]_0^1 \\ &=\pi\bigg[\Big(\frac{e^{2}}{2}+2e + 1\Big) -\Big(\frac{1}{2}+2 + 0\Big)\bigg] \\ &=\pi\Big(\frac{e^{2}}{2}+2e -\frac{3}{2}\Big) \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 밀도·질량과 질량중심활용자동 분류