방향장과 정성적 해석 연습문제 — Active Calculus · 7.2절 · 6번

Active Calculus · 7.2절 · 6번대학 수준우리말 번역

미분방정식

$\frac{dy}{dt} = t-y\,$

을 생각하세요.

(a) 오른쪽 좌표축에 기울기장을 그리세요. (b) 초깃값이 $y(0)= -4, -3, \ldots, 4$ 인 해의 그래프를 그리세요. (c) 그린 그래프로 볼 때, 초깃값이 $y(0) = -1$ 인 해는 무엇이라고 생각되는지 쓰세요. 이것이 실제로 이 초깃값 문제의 해임을 확인하세요. (d) 미분방정식과 그린 그래프를 이용하여, 해가 극솟값을 갖는 점에서 $t$ 와 $y$ 사이의 관계를 설명하세요.

기울기장을 그리기 위한 좌표축이다. t 의 값의 범위는 -4부터 4까지이고, y 의 값의 범위는 -4부터 4까지이다.

영어 원문 보기

Consider the differential equation

$\frac{dy}{dt} = t-y\,.$

(a) Sketch a slope field on the axes at right. (b) Sketch the solutions whose initial values are $y(0)= -4, -3, \ldots, 4$ . (c) What do your sketches suggest is the solution whose initial value is $y(0) = -1$ ? Verify that this is indeed the solution to this initial value problem. (d) By considering the differential equation and the graphs you have sketched, what is the relationship between $t$ and $y$ at a point where a solution has a local minimum?

Axes for plotting the slope field.The values of t range from -4 to 4, and the values of y range from -4 to 4.

정답·풀이 보기

(a) 여러 $(t,y)$ 에서 $\frac{dy}{dt}\vert_{(t,y)}$ 를 계산하여 각 점에서의 기울기를 그리면 다음과 같은 기울기장을 얻는다. 이 그림은 미분방정식의 기울기장과 서로 다른 초기 조건을 만족하는 여러 해를 함께 보여 준다. 직선 y = t-1 을 따라 기울기장의 모든 선분은 기울 (b) 기울기장을 따라 점 $(0,-4)$ , $(0,-3)$ , $\ldots$ , $(0,4)$ 를 지나도록 곡선을 그리면 위 그림과 같은 곡선들을 얻는다. (c) $(0,-1)$ 을 지나는 해는 기울기가 $m = 1$ 인 직선으로 보이므로 식은 $y(t) = t-1$ 이다. 이 함수가 해임을 확인하기 위해 $\frac{dy}{dt}$ 와 $t-y$ 를 모두 계산하면 $\frac{dy}{dt} = 1$ 이고 $t-y = t - (t-1) = 1\,$ 이다. 따라서 $y(t) = t-1$ 은 이 미분방정식의 해이다. (d) 미분방정식과 그린 그래프로부터, 해가 극솟값을 갖는 모든 점에서 $t$ 와 $y$ 는 같은 것으로 보인다. 그 까닭은 $t = y$ 일 때 $\frac{dy}{dt} = t - y = 0$ 이고, 미분가능한 함수가 극솟값을 가지려면 그 점에서의 미분계수가 0이어야 하기 때문이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Sketching the slopes at individual points by computing $\frac{dy}{dt}\vert_{(t,y)}$ at various values of $(t,y)$ , we see the following slope field. This image shows both the slope field of the differential equation and several solutions that satisfy different initial conditions.Along the line y = t-1, every line segment in the slope field has slo (b) By following the slope field so that we pass through the points $(0,-4)$ , $(0,-3)$ , $\ldots$ , $(0,4)$ , we see the collection of curves in the figure above. (c) It looks like the solution that passes through $(0,-1)$ is a straight line with slope $m = 1$ , and thus has the formula $y(t) = t-1$ . To verify this function is a solution, we compute both $\frac{dy}{dt}$ and $t-y$ . Doing so, we see $\frac{dy}{dt} = 1$ and $t-y = t - (t-1) = 1\,.$ Thus, $y(t) = t-1$ is indeed a solution to the differential equation. (d) From both the differential equation and the graphs we have sketched, it appears that $t$ and $y$ are equal at any point where a solution has a local minimum. This is because when $t = y$ , $\frac{dy}{dt} = t - y = 0$ , and having the derivative be zero is required for any local minimum on a differentiable function.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 4.2절 · 8번우리말 번역

평형해가 있습니까? 그 안정성은 어떠합니까?

다 풀었으면 정답 확인

$y=0$ 은 안정한 평형해이고 $y=2$ 는 불안정하다

이 문제로 이어서 풀기

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