미분방정식 모델링 연습문제 — Active Calculus · 7.5절 · 6번

Active Calculus · 7.5절 · 6번대학 수준우리말 번역

축하합니다, 방금 복권에 당첨되었습니다! 제시된 한 가지 선택지에서는 앞으로 25년 동안 매년 백만 달러를 받게 됩니다. 이 돈을 매년 5%의 이자를 주는 계좌에 예금할 수 있습니다.

(a) 계좌에 있는 금액의 변화율을 나타내는 미분방정식을 세우세요. 금액이 늘어나는 요인은 두 가지입니다. 첫째, 매년 백만 달러를 예금하고, 둘째, 5%의 이자를 받습니다. (b) 계좌를 열었을 때 계좌에 들어 있는 금액이 없었다면, 25년 후 계좌에 얼마가 있겠습니까? (c) 제시된 두 번째 선택지는 일시불로 10백만 달러(천만 달러)를 받아 비슷한 계좌에 예금하는 것입니다. 25년 후 그 계좌에 얼마가 있겠습니까? (d) 첫 번째 선택지와 두 번째 선택지 중 어느 쪽을 선호하는지 쓰고, 그 생각을 설명하세요. (e) 첫 번째 선택지의 계좌에 있는 금액이 두 번째 선택지의 계좌에 있는 금액을 넘어서는 것은 언제입니까?

영어 원문 보기

Congratulations, you just won the lottery! In one option presented to you, you will be paid one million dollars a year for the next 25 years. You can deposit this money in an account that will earn 5% each year.

(a) Set up a differential equation that describes the rate of change in the amount of money in the account. Two factors cause the amount to grow—first, you are depositing one millon dollars per year and second, you are earning 5% interest. (b) If there is no amount of money in the account when you open it, how much money will you have in the account after 25 years? (c) The second option presented to you is to take a lump sum of 10 million dollars, which you will deposit into a similar account. How much money will you have in that account after 25 years? (d) Do you prefer the first or second option? Explain your thinking. (e) At what time does the amount of money in the account under the first option overtake the amount of money in the account under the second option?

정답·풀이 보기

(a) $A(t)$ 를 시각 $t$ 에서 계좌에 있는 금액(단위: 백만 달러)이라 하자. $A$ 의 변화율은 매년 $1$ 백만 달러가 추가되는 것과 이자 $0.05A$ 의 영향을 받는다. 따라서 $\frac{dA}{dt} = 1 + 0.05A$ 이다. (b) 계좌를 열었을 때 계좌에 들어 있는 금액이 없었다면 $A(0) = 0$ 이다. 초깃값 문제를 풀면 25년 후 계좌에 얼마가 있는지 구할 수 있다. $1 + 0.05A = 0.05(20 + A)$ 이므로 $\frac{1}{20+A} \frac{dA}{dt} = 0.05$ 이고, 따라서 $\int \frac{1}{20+A} \, dA = \int 0.05 \, dt\,.$ 적분하면(모든 $t$ 에 대해 $A(t) > 0$ 임에 유의), $\ln (20 + A) = 0.05t + C\,,$ 이므로 $A$ 에 대해 통상적인 방법으로 풀면 $20 + A = Ke^{0.05t}$ 이고, 따라서 $A(t) = Ke^{0.05t} - 20$ 이다. $A(0) = 0$ 이므로 $K = 20$ 이고, $A(t) = 20(e^{0.05t} - 1)\,.$ 임을 보였다. 그러므로 $A(25) = 49.80686$ 백만 달러이다. (c) 이 선택지에서는 $\frac{dA}{dt} = 0.05A$ , $A(0) = 10$ 이므로 이 초깃값 문제의 일반적인 풀이에 의해 $A(t) = 10e^{0.05t}$ 이고, 이로부터 $A(25) = 34.90343$ 백만 달러임을 알 수 있다. (d) 첫 번째 선택지가 장기적으로 더 많은 돈이 되므로 분명히 더 좋다. (e) 첫 번째 선택지의 계좌에 있는 금액이 두 번째 선택지의 계좌에 있는 금액을 넘어서는 때는 $20(e^{0.05t} - 1) = 10e^{0.05t}$ 일 때이다. $t$ 에 대해 풀면 $10e^{0.05t} = 20$ 이므로 $e^{0.05t} = 2$ 이고, 따라서 $t = 20 \ln(2) \approx 13.86 \ \text{년}\,.$

원본 교재 풀이(영어)

(a) Let $A(t)$ be the amount of money (in millions) in the account at time $t$ . We know that the rate of change of $A$ is affected by the addition of $1$ million dollars a year, plus the interest earned, which is $0.05A$ . Thus, $\frac{dA}{dt} = 1 + 0.05A$ (b) If there is no amount of money in the account when you open it, that means $A(0) = 0$ . Solving the initial value problem, we can find how much money will be in the account after 25 years. Note that $1 + 0.05A = 0.05(20 + A)$ , so we have $\frac{1}{20+A} \frac{dA}{dt} = 0.05$ and thus $\int \frac{1}{20+A} \, dA = \int 0.05 \, dt\,.$ Integrating (and noting that $A(t) > 0$ for all $t$ , $\ln (20 + A) = 0.05t + C\,,$ so solving for $A$ in the standard way, $20 + A = Ke^{0.05t}$ and thus $A(t) = Ke^{0.05t} - 20$ . Since $A(0) = 0$ , $K = 20$ , and we've shown $A(t) = 20(e^{0.05t} - 1)\,.$ It follows that $A(25) = 49.80686$ million dollars. (c) For this option, we know that $\frac{dA}{dt} = 0.05A$ , $A(0) = 10$ , and thus by the standard solution to this IVP, $A(t) = 10e^{0.05t}$ from which we see that $A(25) = 34.90343$ million dollars. (d) The first option is obviously better because it leads to more money in the long term. (e) The amount of money in the account under the first option overtakes the amount of money in the account under the second option when $20(e^{0.05t} - 1) = 10e^{0.05t}$ . Solving for $t$ , we find that $10e^{0.05t} = 20$ , so $e^{0.05t} = 2$ , and thus $t = 20 \ln(2) \approx 13.86 \ \text{years}\,.$

한 번 더 — 비슷한 문제Active Calculus · 7.5절 · 9번우리말 번역

100갤런의 물이 들어 있는 물탱크가 있다고 하세요. 갤런당 20그램의 소금이 들어 있는 소금물이 분당 3갤런의 비율로 탱크에 들어옵니다.

동시에 용액은 잘 섞이고, 물은 분당 3갤런의 비율로 탱크에서 빠져나갑니다.

(a) 매분 3갤런이 탱크로 들어오고 3갤런이 나가므로, 탱크 안 물의 부피에 대해 무엇을 알 수 있는지 설명하세요. (b) 매분 탱크에 들어오는 소금은 몇 그램인지 구하세요. (c) $S(t)$ 가 $t$ 분에 탱크 안에 있는 소금의 양(그램)을 나타낸다고 하세요. $t$ 분에 각 갤런에는 소금이 몇 그램 들어 있는지 구하세요. (d) 물이 분당 3갤런씩 탱크에서 빠져나가므로, 매분 탱크에서 나가는 소금은 몇 그램인지 구하세요. (e) $S$ 의 전체 변화율을 나타내는 미분방정식을 쓰세요. (f) 평형해를 모두 찾고, 그것이 안정인지 불안정인지 판단하세요. (g) 처음에 탱크에 소금이 없다고 하세요. $t$ 분에 소금의 양 $S(t)$ 를 구하세요. (h) 아주 오랜 시간이 지나면 $S(t)$ 는 어떻게 되는지 구하세요. 탱크로 들어오는 소금물의 갤런당 소금의 양만 알아도 이것을 어떻게 예측할 수 있었는지 설명하세요.

다 풀었으면 정답 확인

(a) 들어오는 양과 나가는 양의 비율이 같으므로 탱크 안 용액의 부피는 일정하게 유지된다. (b) 소금은 유입과 함께 탱크에 들어오며, 유입은 분당 $3$ 갤런의 비율로, 갤런당 $20$ 그램의 농도로 일어난다. $20 \frac{\text{그램}}{\text{갤런}} \cdot 3 \frac{\text{갤런}}{\text{분}} = 60 \frac{\text{그램}}{\text{분}}\,,$ 이므로 소금은 분당 $60$ 그램의 비율로 탱크에 들어온다. (c) $S(t)$ 가 시각 $t$ 에 탱크 안에 있는 소금의 양(그램)을 나타낸다고 하면, 어느 시각 $t$ 에나 탱크 안에 $100$ 갤런의 용액이 있으므로 탱크 안 소금의 농도(갤런당 그램)는 어느 시각 $t$ 에나 $\frac{S(t)}{100} \frac{\text{그램}}{\text{갤런}}$ 이다. (d) 물이 분당 $3$ 갤런씩 탱크에서 빠져나가므로, 소금이 탱크에서 나가는 비율은 $\frac{S(t)}{100} \frac{\text{그램}}{\text{갤런}} \cdot 3 \frac{\text{갤런}}{\text{분}} = \frac{3S(t)}{100} \frac{\text{그램}}{\text{분}}\,.$ 이다. (e) (b)와 (d)에서 구한, 소금이 탱크에 들어오고 나가는 비율을 고려하고 $\frac{dS}{dt}$ 의 단위가 분당 그램임에 유의하면, $\frac{dS}{dt} = 60 - \frac{3}{100} S\,.$ 임을 보였다. (f) $60 - \frac{3}{100} S = 0$ 으로 놓으면 $S = 2000$ 이 유일한 평형해임을 알 수 있다. 유입이 갤런당 $20$ 그램의 소금을 싣고 오므로, 탱크가 이 농도에 이르면 소금은 모두 $20 \cdot 100$ 그램이 되기 때문에 이는 타당하다. 이 평형은 안정하다(직관적으로도 그렇고, $S < 2000$ 일 때 $\frac{dS}{dt}$ 가 양수이고 $S > 2000$ 일 때 음수이기 때문이기도 하다). (g) $S(0) = 0$ 이라 가정하면, $\frac{dS}{dt} = 60 - \frac{3}{100} S$ 에 대한 초깃값 문제를 풀 수 있다. 계산을 좀 더 간단하게 하기 위해 $60 - \frac{3}{100}S = -\frac{3}{100}(S-2000)$ 으로 쓴다. 변수를 분리하면 $\frac{1}{S-2000} \frac{dS}{dt} = -\frac{3}{100}$ 이고, $t$ 에 대해 적분하면 $\int \frac{1}{S-2000} \, dS = -\int \frac{3}{100} \, dt$ 이므로 $\ln|S-2000| = -\frac{3}{100}t + C\,.$ 이다. 통상적인 방법으로 $S$ 에 대해 풀면 $S = 2000 + Ke^{-\frac{3}{100}t}$ 이고, 초기 조건 $S(0) = 0$ 을 이용하면 $K = -2000$ 이므로 $S(t) = 2000 - 2000e^{-\frac{3}{100}t}\,.$ 이다. (h) $t \to \infty$ 일 때 $e^{-\frac{3}{100}t} \to 0$ 이므로 $S(t) \to 2000$ 이다. 유입이 리터당 $20$ 그램의 소금을 계속 실어 오므로 이는 타당하다. 시간이 지남에 따라 탱크 안 용액의 농도는 그와 같은 농도에 가까워질 것이고, 용액이 $100$ 갤런이므로 소금의 양은 $20 \cdot 100 = 2000$ 그램에 가까워질 것이다. 이 값은 (f)에서 구한 안정한 평형과도 일치한다.

이 문제로 이어서 풀기

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