미분방정식 모델링 연습문제 — Active Calculus · 7.5절 · 8번

Active Calculus · 7.5절 · 8번대학 수준우리말 번역

생후 처음 몇 년 동안, 아기의 몸무게가 늘어나는 비율은 몸무게의 역수에 비례한다.

(a) 이 사실을 미분방정식으로 나타내세요. (b) 어떤 아기가 태어날 때 몸무게가 8파운드이고 한 달 뒤에 9파운드라고 하자. 1년 뒤에 이 아기의 몸무게는 얼마가 되겠습니까? (c) 이 모델이 오랜 기간에 대해 현실적이라고 생각합니까?

영어 원문 보기

During the first few years of life, the rate at which a baby gains weight is proportional to the reciprocal of its weight.

(a) Express this fact as a differential equation. (b) Suppose that a baby weighs 8 pounds at birth and 9 pounds one month later. How much will he weigh at one year? (c) Do you think this is a realistic model for a long time?

정답·풀이 보기

(a) 아기의 몸무게 $w(t)$ ( $t$ 개월째의 파운드 단위 몸무게)는 그 역수에 비례하는 비율로 증가하므로, $\frac{dw}{dt} = \frac{k}{w}\,.$ (b) $W(0) = 8$ 이고 $W(1) = 9$ 이므로, 초깃값 문제를 풀면서 $k$ 도 구할 수 있다. 먼저 변수를 분리하여 미분방정식을 풀기 위해 $w \frac{dw}{dt} = k$ 로 쓰고 적분하면 $\int w \frac{dw}{dt} \, dt = \int k \, dt\,.$ 이다. 따라서 $\frac{1}{2}w^2 = kt + C$ 이고, 그러므로 $w(t) = \sqrt{2kt + C_1}$ 이다 ( $C_1 = 2C$ 이며, $w(t) > 0$ 임을 알고 있으므로 양의 제곱근을 취한다). 초기 조건 $w(0) = 8$ 을 적용하면 $8 = \sqrt{C_1}$ 이므로 $C_1 = 64$ 이고, $w(t) = \sqrt{2kt + 64}\,.$ $k$ 를 구하기 위해 추가 정보 $w(1) = 9$ 를 이용하면 $9 = \sqrt{2k + 64}$ 이고, 이로부터 $81 = 2k + 64$ 이므로 $k = 17/2$ 이다. 따라서 $w(t) = \sqrt{17t+64}\,.$ 이 모델에 따르면 1년 뒤 아기의 몸무게는 $w(12) = \sqrt{268} \approx 16.37$ 파운드이다. (c) 함수 $w(t) = \sqrt{7t+64}$ 는 $t$ 가 커짐에 따라 한없이 커지지만, 이 모델이 현실적이지 않은 것은 오히려 처음에 함수가 충분히 빠르게 증가하지 않기 때문이다. 예를 들어, 이 모델은 10세에 $w(120) \approx 30.06$ 파운드, 20세에 $w(120) = 41.76$ 파운드가 될 것이라고 예측한다. 현실적인 모델이라면 생애 초기에 훨씬 더 빠르게 증가하다가 20세 무렵에 일정해져야 할 것이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Since the baby's weight, $w(t)$ (in pounds at month $t$ ), grows at a rate proportional to its reciprocal, we have $\frac{dw}{dt} = \frac{k}{w}\,.$ (b) Given that $W(0) = 8$ and $W(1) = 9$ , we can both solve the IVP and determine $k$ . To start, we separate variables and solve the differential equation by writing $w \frac{dw}{dt} = k$ and integrating to get $\int w \frac{dw}{dt} \, dt = \int k \, dt\,.$ It follows that $\frac{1}{2}w^2 = kt + C$ and therefore $w(t) = \sqrt{2kt + C_1}$ (where $C_1 = 2C$ and we take the positive square root because we know $w(t) > 0$ ). Applying the initial condition $w(0) = 8$ , we find that $8 = \sqrt{C_1}$ , so $C_1 = 64$ and $w(t) = \sqrt{2kt + 64}\,.$ To find $k$ , we use the additional information that $w(1) = 9$ , so $9 = \sqrt{2k + 64}$ which implies that $81 = 2k + 64$ and thus $k = 17/2$ . Thus, $w(t) = \sqrt{17t+64}\,.$ At one year, according to the model the baby weighs $w(12) = \sqrt{268} \approx 16.37$ pounds. (c) While the function $w(t) = \sqrt{7t+64}$ grows without bound as $t$ increases, the model is unrealistic more because the function initially doesn't grow fast enough. For example, the model predicts that at age $10$ , $w(120) \approx 30.06$ pounds, and at age $20$ , $w(120) = 41.76$ pounds. A realistic model would need to grow much more quickly early in life and then level off around age $20$ .

한 번 더 — 비슷한 문제Active Calculus · 7.5절 · 7번우리말 번역

스카이다이버가 비행기에서 뛰어내릴 때, 중력 때문에 아래 방향 속도는 초제곱당 $g\approx 9.8$ 미터의 비율로 증가한다. 동시에 공기 저항 때문에 속도는 속도에 비례하는 비율로 감소한다.

(a) 비례상수를 $k$ 로 나타내어, 스카이다이버의 속도의 변화율을 나타내는 미분방정식을 쓰세요. (b) 평형해를 모두 구하고, 각각이 안정인지 불안정인지 판단하세요. 결과는 $k$ 에 따라 달라집니다. (c) 처음 속도가 0이라고 할 때, 속도 $v(t)$ 를 구하세요. (d) 얼굴을 아래로 향하고 떨어지는 스카이다이버의 일반적인 종단 속도는 초당 54 미터이다. 이 스카이다이버의 $k$ 의 값은 얼마인지 구하세요. (e) 종단 속도의 50%에 도달하는 데 걸리는 시간은 얼마인지 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

(a) 시각 $t$ 에서 스카이다이버의 아래 방향 속도를 $v(t)$ 라 하자. 중력 때문에 아래 방향 속도가 초제곱당 $g\approx 9.8$ 의 비율로 증가하므로, $\frac{dv}{dt}$ 에 대한 미분방정식에는 $+9.8$ 미터/초제곱의 항이 있고, 공기 저항 때문에 속도가 감소하는 효과는 음의 항 $-kv$ 로 나타난다. 따라서 미분방정식은 $\frac{dv}{dt} = 9.8 - kv$ 이다. (b) 평형해를 구하기 위해 $\frac{dv}{dt} = 0$ 으로 놓고 $v$ 에 대해 푼다. 그러면 $0 = 9.8 - kv$ 이므로 $v = \frac{9.8}{k}$ 이다. 또한 $v < \frac{9.8}{k}$ 일 때 $\frac{dv}{dt} > 0$ 이고, $\frac{dv}{dt} > \frac{9.8}{k}$ 일 때 $\frac{dv}{dt} < 0$ 임을 알 수 있다. 따라서 평형보다 조금 큰 속도에서는 속도가 감소하고 평형보다 조금 작은 속도에서는 속도가 감소하므로, $v = \frac{9.8}{k}$ 는 안정 평형이다. (c) $v(0) = 0$ 이라 가정하고, 위에서 세운 미분방정식으로 초깃값 문제(IVP)를 푼다. 미분방정식 $\frac{dv}{dt} = 9.8 - kv$ 에서 변수를 분리하면 $\frac{1}{9.8 - kv} \frac{dv}{dt} = 1\,$ 이다. $t$ 에 대해 적분하면 $\int \frac{1}{9.8 - kv} \, dv = \int 1 \, dt\,,$ 이고, 일반적인 치환을 사용하면 $-\frac{1}{k} \ln | 9.8 - kv | = t + C$ 이다. $v$ 에 대해 풀면 $\ln | 9.8 - kv | = -kt + C_1$ 이다 (여기서 $C_1 = -Ck$ 이다. 또는 $|9.8 - kv| = e^{-kt + C_1} = C_2 e^{-kt}\,$ 이다. 절댓값을 통상적인 방법으로 상수 $C_2$ 에 포함시키면, 어떤 상수 $A$ 에 대해 $9.8 - kv = Ae^{-kt}$ 이고, 따라서 $v = \frac{9.8 - Ae^{-kt}}{k}$ 이다. $v(0) = 0$ 으로 놓으면 $A$ 도 정할 수 있는데, $0 = \frac{9.8 - A}{k}$ 이므로 $A = 9.8$ 이다. 따라서 초깃값 문제의 해는 $v(t) = \frac{9.8 - 9.8e^{-kt}}{k}$ 이다. (d) 스카이다이버의 종단 속도가 초당 54 미터라는 것은 $\lim_{t \to \infty} v(t) = 54$ 라는 뜻이다. (c)에서 구한 해를 이용하면 $\lim_{t \to \infty} \frac{9.8 - 9.8e^{-kt}}{k} = \frac{9.8}{k}$ 임을 알 수 있다. 이는 $t \to \infty$ 일 때 $e^{-kt} \to 0$ 이기 때문이다. 따라서 $54 = \frac{9.8}{k}$ 이므로 $k = 9.8/54 \approx 0.181481$ 이다. (e) 종단 속도의 50%에 도달하는 데 걸리는 시간을 구하기 위해 $v(t) = \frac{9.8 - 9.8e^{-0.181481t}}{0.181481} = 0.5(54)$ 로 놓고 $t$ 에 대해 푼다. 그러면 $9.8 - 9.8e^{-0.181481t} = 0.5(54)(0.181481)\,,$ 이므로 $9.8-9.8e^{-0.181481t} = 4.9\,,$ 이고, 따라서 $9.8e^{-0.181481t} = 4.9$ 이며, 이로부터 $e^{-0.181481t} = 0.5$ 이다. $t$ 에 대해 풀면 $t = \frac{\ln(0.5)}{-0.181481} \approx 3.1894$ 초이다.

이 문제로 이어서 풀기

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