테일러·매클로린 급수

(a) 알려진 거듭제곱급수 $e^x = 1 + x +\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots$ 에 $x=-t$ 를 대입하면 다음을 얻는다.

$$\begin{aligned} e^{-t}&= 1 - t +\frac{t^2}{2!}-\frac{t^3}{3!} + \frac{t^4}{4!} - \cdots \\ 1-e^{-t}&= t - \frac{t^2}{2!}+ \frac{t^3}{3!} - \frac{t^4}{4!} + \cdots \\ \frac{1-e^{-t}}{t}&= 1 - \frac{t}{2!}+ \frac{t^2}{3!} - \frac{t^3}{4!} + \cdots \\ \int \frac{1-e^{-t}}{t}\ \mathrm{d}t&= C + x - \frac{x^2}{2\cdot 2!} + \frac{x^3}{3\cdot 3!} - \frac{x^4}{4\cdot 4!} + \cdots \end{aligned}$$

마지막으로 $f(0) = 0$ 이므로($f(0)$ 은 $0$ 에서 $0$ 까지의 적분이므로) $C=0$ 이다. 따라서

$$\begin{aligned} f(x) = \int_0^x\frac{1-e^{-t}}{t}\ \mathrm{d}t = x - \frac{x^2}{2\cdot 2!} + \frac{x^3}{3\cdot 3!} - \frac{x^4}{4\cdot 4!} + \cdots. \end{aligned}$$

이 계산을 합의 기호만으로 나타낼 수도 있다. $e^{x}= \displaystyle\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$ 이므로

$$\begin{aligned} e^{-t}&= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-t)^n}{n!} =1+ \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^nt^n}{n!} \\ 1-e^{-t}&= - \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^nt^n}{n!} = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} t^n}{n!} \\ \frac{1-e^{-t}}{t}&= \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} t^{n-1}}{n!} \\ f(x) = \int_0^x\frac{1-e^{-t}}{t}\ \mathrm{d}t &= \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} x^n}{n\cdot n!} \end{aligned}$$

(b) $a_n=A_nx^n = \dfrac{(-1)^{n-1}}{n\cdot n!} x^n$ 으로 놓고 비판정법을 적용한다.

$$\begin{aligned} \lim_{n\rightarrow\infty}\Big|\frac{a_{n+1}}{a_n}\Big| &=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg|\frac{{(-1)^{n}}x^{n+1}/{((n+1)\cdot (n+1)!)}} {{(-1)^{n-1}}x^n/{(n\cdot n!)}}\bigg| \\ &=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \frac{|x|^{n+1}}{|x|^n} \frac{n\cdot n!}{(n+1)\cdot (n+1)!} \bigg) \\ &=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( |x|\frac{n}{(n+1)^2} \bigg) \qquad\text{$(n+1)!=(n+1)\,n!$ 이므로} \\ &=0 \end{aligned}$$

이 값은 $x$ 가 무엇이든 $1$ 보다 작다. 따라서 이 급수는 모든 $x$ 에 대해 수렴한다.