함수의 연속 연습문제 — CLP-1 · 1.6절 · 3번

CLP-1 · 1.6절 · 3번우리말 번역

구간 $[0,2]$ 에서 정의된 함수 $f(x)$ 중에서 $f(0)=0$ , $f(2)=2$ 이고 $f(x)$ 가 1이 되는 경우가 없는 예를 (그래프나 식으로) 하나 드세요. 이것이 사잇값 정리(IVT)와 모순되지 않는 이유를 설명하세요.

영어 원문 보기

Give an example (by sketch or formula) of a function $f(x)$ , defined on the interval $[0,2]$ , with $f(0)=0$ , $f(2)=2$ , and $f(x)$ never equal to 1. Why does this not contradict the Intermediate Value Theorem?

정답·풀이 보기

한 가지 예는 $f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0&0 \leq x \leq 1 \text{ 일 때}\\ 2&1<x \leq 2 \text{ 일 때} \end{array}\right.$ 이다. 사잇값 정리(IVT)는 $f$ 가 $[0,2]$ 에서 연속일 때에만 $[0,2]$ 의 어떤 $c$ 에 대해 $f(c)=1$ 임을 보장한다. $f$ 가 연속이 아니면 사잇값 정리(IVT)는 아무것도 말해 주지 않는다.

원본 교재 풀이(영어)

One example is $f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0&\text{when }0 \leq x \leq 1\\ 2&\text{when }1<x \leq 2 \end{array}\right.$ . The IVT only guarantees $f(c)=1$ for some $c$ in $[0,2]$ when $f$ is continuous over $[0,2]$ . If $f$ is not continuous, the IVT says nothing.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 1.6절 · 2번우리말 번역

내가 태어났을 때 나는 키가 1미터보다 작았다. 지금은 키가 1미터보다 크다. 내 키에 대해 사잇값 정리가 말해 주는 결론은 무엇일까요?

다 풀었으면 정답 확인

$f$ 를 내 키, 내가 태어난 시각을 $a$ , 지금을 $b$ 라 하면 $f(a) \leq 1 \leq f(b)$ 임을 안다. 내 키는 연속인 함수라고 가정하는 것이 합리적이다. 그러면 사잇값 정리에 의해 $a$ 와 $b$ 사이에 $f(c)=1$ 인 값 $c$ 가 존재한다. 즉 내가 태어난 때부터 오늘까지 사이에 내 키가 정확히 1미터였던 어떤 시점(이를 $c$ 라 했다)이 있다.

사잇값 정리는 내 키가 1미터였던 날이 정확히 언제인지는 말해 주지 않는다는 점에 주의하자. 그런 날이 내가 태어난 때부터 오늘까지 사이에 있었음을 보장할 뿐이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 함수의 연속그래프·표 해석기본자동 분류