함수의 연속 연습문제 — CLP-1 · 1.6절 · 20번

CLP-1 · 1.6절 · 20번우리말 번역

다음 함수가 연속이 되도록 하는 $c$ 의 모든 값을 구하세요. $f(x)=\left\{\begin{array}{ccc} 6-cx & \text{일 때} & x\le 2c\\ x^2 & \text{일 때} & x> 2c \end{array}\right.$ 연속의 정의를 이용하여 답을 근거와 함께 설명하세요.

영어 원문 보기

Find all values of $c$ such that the following function is continuous: $f(x)=\left\{\begin{array}{ccc} 6-cx & \text{if} & x\le 2c\\ x^2 & \text{if} & x> 2c \end{array}\right.$ Use the definition of continuity to justify your answer.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

두 구간의 식이 각각 다항식이므로 함수는 $x\ne 2c$ 에서 연속이다. 따라서 남은 문제는 함수가 $x=2c$ 에서 연속인지 여부뿐이며, 이를 위해서는 $\lim_{x\to 2c^-}f(x)=f(2c)=\lim_{x\to 2c+}f(x)$ 이어야 한다. 각각 계산하면 $\lim_{x\to 2c^-}f(x)=\lim_{x\to 2c^-}6-cx = 6-2c^2;$ $f(2c)=6-c\cdot 2c= 6-2c^2\text{이고}$ $\lim_{x\to 2c^+}f(x)=\lim_{x\to 2c^+}x^2=4c^2$ 이다. 따라서 $6-2c^2=4c^2$ 이어야 하므로 $c^2=1$ , 즉 $c=-1$ 또는 $c=1$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

The function is continuous for $x\ne 2c$ since each of those two branches are polynomials. So, the only question is whether the function is continuous at $x=2c$ ; for this we need $\lim_{x\to 2c^-}f(x)=f(2c)=\lim_{x\to 2c+}f(x).$ We compute $\lim_{x\to 2c^-}f(x)=\lim_{x\to 2c^-}6-cx = 6-2c^2;$ $f(2c)=6-c\cdot 2c= 6-2c^2\text{ and}$ $\lim_{x\to 2c^+}f(x)=\lim_{x\to 2c^+}x^2=4c^2.$ So, we need $6-2c^2=4c^2$ , which yields $c^2=1$ , i.e. $c=-1$ or $c=1$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 1.6절 · 23번우리말 번역

$2\tan(c)=c+1$ 을 만족하는 실수 $c$ 가 적어도 하나 존재함을 보이세요.

다 풀었으면 정답 확인

$f(x)=2\tan(x)-x-1$ 이라 하자. $\tan(x)=\sin(x)/\cos(x)$ 는 구간 $(-\pi/2, \pi/2)$ 에서 연속이고, $x+1$ 은 다항식이므로 모든 실수에서 연속이다. 따라서 $f(x)$ 는 이 구간에서 연속함수이다.

$f(a)<0$ 인 값 $a\in (-\pi/2,\pi/2)$ 를 찾는다. 바로 $a=0$ 이 조건을 만족함을 알 수 있다. 왜냐하면 $f(0)=2\tan(0)-0-1=0-1=-1<0$ 이기 때문이다.

$f(b)>0$ 인 값 $b\in (-\pi/2, \pi/2)$ 를 찾는다. $b=\pi/4$ 가 조건을 만족한다. 왜냐하면 $f(\pi/4)=2\tan(\pi/4) -\pi/4 - 1=2-\pi/4 - 1=1-\pi/4=(4-\pi)/4>0$ 이기 때문이다. 이는 $3<\pi<4$ 이므로 성립한다.

따라서 $f(x)$ 는 $[0,\pi/4]$ 에서 연속이고 $f(0)<0$ 이면서 $f(\pi/4)>0$ 이므로, 사잇값 정리에 의해 $f(c)=0$ 인 실수 $c\in (0,\pi/4)$ 가 존재한다.

이 문제로 이어서 풀기

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