함수의 연속 연습문제 — CLP-1 · 1.6절 · 24번

CLP-1 · 1.6절 · 24번우리말 번역

다음을 만족하는 실수 c 가 적어도 하나 존재함을 보이세요. $\sqrt{\cos(\pi c)} = \sin(2 \pi c) + \frac{1}{2}$ .

영어 원문 보기

Show that there exists at least one real number c such that $\sqrt{\cos(\pi c)} = \sin(2 \pi c) + \frac{1}{2}$ .

정답·풀이 보기

$f(x) = \sqrt{\cos(\pi x)} - \sin(2\pi x) -1/2$ 라 하자. 이 함수는 $\cos(\pi x)\geq 0$ 인 범위에서 연속이다. 이는 $0 \leq x \leq \frac{1}{2}$ 에서 성립한다.

이제 $f$ 는 $[0,1/2]$ 에서 양수 값을 갖는다:

$\begin{aligned} f(0) &= \sqrt{\cos(0)} - \sin(0) -1/2 = \sqrt{1} -1/2 = 1/2. \end{aligned}$

또한 $f$ 는 $[0,1/2]$ 에서 음수 값도 갖는다:

$\begin{aligned} f(1/2) &= \sqrt{\cos(\pi/2)}-\sin(\pi)-1/2 = 0-0-1/2 = -1/2 \end{aligned}$

( $f(1/3)=(\sqrt{2}-\sqrt{3})/2-1/2$ 도 마찬가지로 성립함에 주목하자.)

따라서 $f(x)$ 가 $[0,1/2)$ 에서 연속이고 $f(0)>0$ 이면서 $f(1/2)<0$ 이므로, 사잇값 정리에 의해 $f(c)=0$ 인 실수 $c\in (0,1/2)$ 가 존재한다.

원본 교재 풀이(영어)

Let $f(x) = \sqrt{\cos(\pi x)} - \sin(2\pi x) -1/2$ . This function is continuous provided $\cos(\pi x)\geq 0$ . This is true for $0 \leq x \leq \frac{1}{2}$ .

Now $f$ takes positive values on $[0,1/2]$ :

$\begin{aligned} f(0) &= \sqrt{\cos(0)} - \sin(0) -1/2 = \sqrt{1} -1/2 = 1/2. \end{aligned}$

And $f$ takes negative values on $[0,1/2]$ :

$\begin{aligned} f(1/2) &= \sqrt{\cos(\pi/2)}-\sin(\pi)-1/2 = 0-0-1/2 = -1/2 \end{aligned}$

(Notice that $f(1/3)=(\sqrt{2}-\sqrt{3})/2-1/2$ also works)

So, because $f(x)$ is continuous on $[0,1/2)$ and $f(0)>0$ while $f(1/2)<0$ , then the Intermediate Value Theorem guarantees the existence of a real number $c\in (0,1/2)$ such that $f(c)=0$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 1.6절 · 27번우리말 번역

사잇값 정리를 이용하여 $\sqrt[3]{7}$ 의 소수 근삿값을 적어도 소수 둘째 자리까지 정확하게 구하세요. 계산기를 사용해도 되지만 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈에만 사용할 수 있습니다.

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

$f(x)=x^3$ 이라 하자. $f$ 는 다항식이므로 모든 곳에서 연속이다. $f(a)<7<f(b)$ 이면 $\sqrt[3]{7}$ 은 $a$ 와 $b$ 사이에 있다. 이 부등식을 만족시키면서 서로 매우 가까운 $a$ 와 $b$ 를 찾을 수 있다면, $\sqrt[3]{7}$ 의 좋은 근삿값을 얻을 수 있다.

정수부터 시작해 보자. $1^3<7<2^3$ 이므로 $\sqrt[3]{7}$ 은 구간 $(1,2)$ 에 있다.
범위를 좁혀 보자. 예를 들어 $f(1.5)$ 를 살펴보자. $(1.5)^3 = 3.375<7$ 이므로 $\sqrt[3]{7}$ 은 구간 $(1.5,2)$ 에 있다.
더 좁혀 보자. 예를 들어 $f(1.75)$ 를 살펴보자. $(1.75)^3\approx 5.34<7$ 이므로 $\sqrt[3]{7}$ 은 구간 $(1.75,2)$ 에 있다.
여러 값을 시험해 보면 $f(1.9)<7<f(2)$ 임을 알 수 있으므로 $\sqrt[3]{7}$ 은 $1.9$ 와 $2$ 사이에 있다.
더 시험해 보면 $f(1.91)<7<f(1.92)$ 이므로 $\sqrt[3]{7}$ 은 $(1.91,1.92)$ 에 있다.
$\sqrt[3]{7}$ 을 소수 둘째 자리까지 반올림한 근삿값을 얻으려면 $\sqrt[3]{7}$ 이 $1.915$ 보다 큰지 작은지를 알아야 한다. 실제로 $f(1.915) \approx 7.02>7$ 이므로 $\sqrt[3]{7}<1.915$ 이고, 따라서 소수 둘째 자리까지 반올림하면 $\sqrt[3]{7}\approx 1.91$ 이다.

이것이 $\sqrt[3]{7}$ 을 어림하는 당연한 방법으로 느껴진다면 잘 이해한 것이다. 사잇값 정리는 매우 직관적인 원리를 정식으로 나타낸 것이다.

이 문제로 이어서 풀기

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