지수적 증가와 감소 연습문제 — CLP-1 · 3.3절 · 7번

CLP-1 · 3.3절 · 7번대학 수준우리말 번역

1그램의 라듐-226이 들어 있는 시료를 100년 전에 실험실에 보관했는데, 지금은 이 시료에 라듐-226이 0.9576그램만 남아 있습니다. 라듐-226의 반감기를 구하세요.

영어 원문 보기

A sample containing one gram of Radium-226 was stored in a lab 100 years ago; now the sample only contains 0.9576 grams of Radium-226. What is the half-life of Radium-226?

정답·풀이 보기

100년 전을 시각 $t=0$ 이라 하자. 시료에 들어 있는 라듐-226의 양을 $Q(t)$ 라 하면 $Q(0)=1$ 이고,

$\begin{aligned} Q(t)&=e^{-kt} \\ \text{어떤 양의 상수 $k$ 에 대해 성립한다. $t=100$ 일 때 남은 라듐-226의 양은 0.9576그램이므로} \\ 0.9576=Q(100)&=e^{-k\cdot 100}=\left(e^{-k}\right)^{100}\\ e^{-k}&=0.9576^{\tfrac{1}{100}}\\ \text{이로부터 다음을 알 수 있다.} \\ Q(t)&=0.9576^{\tfrac{t}{100}} \\ \text{따라서 라듐-226이 처음 양의 절반만큼 남아 있으려면} \\ \frac{1}{2}&=0.9576^{\tfrac{t}{100}}\\ \log\left(\frac{1}{2}\right)&=\log\left(0.9576^{\tfrac{t}{100}}\right)\\ -\log 2&=\frac{t}{100}\log(0.9576)\\ t&=-100\frac{\log 2}{\log 0.9576}\approx 1600 \end{aligned}$

따라서 라듐-226의 반감기는 약 1600년이다.

원본 교재 풀이(영어)

Let 100 years ago be the time $t=0$ . Then if $Q(t)$ is the amount of Radium-226 in the sample, $Q(0)=1$ , and

$\begin{aligned} Q(t)&=e^{-kt} \\ \text{for some positive constant $k$. When $t=100$, the amount of Radium-226 left is 0.9576 grams, so} \\ 0.9576=Q(100)&=e^{-k\cdot 100}=\left(e^{-k}\right)^{100}\\ e^{-k}&=0.9576^{\tfrac{1}{100}}\\ \text{This tells us} \\ Q(t)&=0.9576^{\tfrac{t}{100}} \\ \text{So, if half the original amount of Radium-226 is left,} \\ \frac{1}{2}&=0.9576^{\tfrac{t}{100}}\\ \log\left(\frac{1}{2}\right)&=\log\left(0.9576^{\tfrac{t}{100}}\right)\\ -\log 2&=\frac{t}{100}\log(0.9576)\\ t&=-100\frac{\log 2}{\log 0.9576}\approx 1600 \end{aligned}$

So, the half life of Radium-226 is about 1600 years.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 3.3절 · 6번우리말 번역

뼈 시료가 10,000 년 전에 죽은 동물의 것이다. 이 뼈가 동물이 죽을 때 5 $\mu$ g 의 탄소-14를 포함하고 있었다면, 지금은 탄소-14가 얼마나 들어 있을 것으로 예상하나요?

다 풀었으면 정답 확인

동물이 죽은 지 $t$ 년 후 시료에 들어 있는 탄소-14의 양은 $Q(t)=5e^{-kt}$ 이다. 여기서 $k$ 는 어떤 상수이고, 5는 시간 $t=0$ 일 때 시료에 들어 있는 탄소-14의 양이다. 따라서 우리가 구하는 답은 $Q(10000)$ 이다. $Q(10000)$ 의 값을 구하려면 $k$ 를 실제 수로 바꿔야 하는데, 그 열쇠는 반감기이다. 교재에 따르면 탄소-14의 반감기는 5730 년이므로 다음이 성립한다.

$\begin{aligned} Q(5730)&=\frac{5}{2}\\ 5e^{-k\cdot5730}&=\frac{5}{2}\\ \left(e^{-k}\right)^{5730}&=\frac{1}{2}\\ e^{-k}&=\sqrt[5730]{\frac{1}{2}}=2^{-\tfrac{1}{5730}} \\ \text{따라서:} \\ Q(t)&=5\left(e^{-k}\right)^t\\ &=5\cdot2^{-\tfrac{t}{5730}} \\ \text{이제 값을 구할 수 있다:} \\ Q(10000)&=5\cdot 2^{-\tfrac{10000}{5730}}\approx 1.5~\mu g \end{aligned}$

참고: $2(5730)=11,460$ 년이 지나면 시료는 반감기를 두 번 거친 셈이므로, 남아 있는 탄소-14는 처음 양의 4분의 1, 즉 $1.25$ $\mu$ g 이다. 10,000 년 후의 시료에는 11,460 년 후보다 탄소-14가 조금 더 많이 들어 있는 것이 타당하다. 실제로 1.5 는 1.25 보다 조금 크므로 우리가 구한 답은 그럴듯해 보인다.

답이 그럴듯한지 빠르게 확인할 방법을 찾는 것은 좋은 습관이다. 작은 계산 실수가 풀이에서 큰 오류로 이어지기 쉽기 때문이다.

이 문제로 이어서 풀기

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