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지수적 증가와 감소

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-1 · 3.3절 · 10번대학 수준우리말 번역

폴로늄-210의 반감기는 138일입니다. 폴로늄-210 시료의 몇 퍼센트가 하루 동안 붕괴하는지 구하세요.

영어 원문 보기

Polonium-210 has a half life of 138 days. What percentage of a sample of Polonium-210 decays in a day?

정답·풀이 보기

tt일 후 시료에 남아 있는 폴로늄-210의 양은 다음과 같이 주어진다는 것을 알고 있다.

Q(t)=Ce−kt여기서 C 는 시료의 처음 양이고, k 는 어떤 양의 상수이다.문제는 시료의 몇 퍼센트가 하루 동안 붕괴하는지 묻고 있다. t 를 일 단위로 재므로, 하루 동안 붕괴하는 양은 Q(t)−Q(t+1) 이다. 이 양이 Q(t) 에서 차지하는 퍼센트는 100Q(t)−Q(t+1)Q(t) 이다. (예를 들어 시각 t 에 2 그램이 있었고 시각 t+1 에 1 그램이 있었다면 1002−11=50 이므로, 시료의 50% 가 하루 동안 붕괴한 것이다.)식을 간단히 하기 위해 Q(t) 를 더 알맞은 식으로 나타내야 한다. 늘 그렇듯이 반감기를 이용한다.Q(138)=C2Ce−k⋅138=C2(e−k)138=12=2−1e−k=2−1138이제 Q(t) 에 대한 더 알맞은 식을 얻었다:Q(t)=C(e−k)tQ(t)=C⋅2−t138마지막으로, 시료의 몇 퍼센트가 하루 동안 붕괴하는지 계산할 수 있다.100Q(t)−Q(t+1)Q(t)=100C⋅2−t138−C⋅2−t+1138C⋅2−t138(1C1C)=1002−t138−2−t+11382−t138=100(2−t138−2−t+1138)2t138=100(1−2−1138)≈0.5\begin{aligned} Q(t)&=Ce^{-kt} \\ \text{여기서 $C$ 는 시료의 처음 양이고, $k$ 는 어떤 양의 상수이다.} \\ \\ \text{문제는 시료의 몇 퍼센트가 하루 동안 붕괴하는지 묻고 있다. $t$ 를 일 단위로 재므로, 하루 동안 붕괴하는 양은 $Q(t)-Q(t+1)$ 이다. 이 양이 $Q(t)$ 에서 차지하는 퍼센트는 $100\dfrac{Q(t)-Q(t+1)}{Q(t)}$ 이다. (예를 들어 시각 $t$ 에 2 그램이 있었고 시각 $t+1$ 에 1 그램이 있었다면 $100\dfrac{2-1}{1}=50$ 이므로, 시료의 50\% 가 하루 동안 붕괴한 것이다.)} \\ \\ \text{식을 간단히 하기 위해 $Q(t)$ 를 더 알맞은 식으로 나타내야 한다. 늘 그렇듯이 반감기를 이용한다.} \\ Q(138)&=\frac{C}{2}\\ Ce^{-k\cdot138}&=\frac{C}{2}\\ \left(e^{-k}\right)^{138}&=\frac{1}{2}=2^{-1}\\ e^{-k}&=2^{-\tfrac{1}{138}} \\ \text{이제 $Q(t)$ 에 대한 더 알맞은 식을 얻었다:} \\ Q(t)&=C\left(e^{-k}\right)^t\\ Q(t)&=C\cdot2^{-\tfrac{t}{138}} \\ \text{마지막으로, 시료의 몇 퍼센트가 하루 동안 붕괴하는지 계산할 수 있다.} \\ 100\frac{Q(t)-Q(t+1)}{Q(t)}&=100\frac{C\cdot2^{-\tfrac{t}{138}}-C\cdot2^{-\tfrac{t+1}{138}}}{C\cdot2^{-\tfrac{t}{138}}}\left(\frac{\frac{1}{C}}{\frac{1}{C}}\right)\\ &=100\frac{2^{-\tfrac{t}{138}}-2^{-\tfrac{t+1}{138}}}{2^{-\tfrac{t}{138}}}\\ &=100\left(2^{-\tfrac{t}{138}}-2^{-\tfrac{t+1}{138}}\right)2^{\tfrac{t}{138}}\\ &=100\left(1-2^{-\tfrac{1}{138}}\right)\approx 0.5 \end{aligned}

시료의 약 0.5%가 하루 동안 붕괴한다.

참고: 시료의 0.5퍼센트가 하루 동안 붕괴한다고 할 때, 이것은 처음 시료의 0.5퍼센트를 뜻하는 것이 아니다. 어떤 날이 시작될 때 시료가 1 마이크로그램이라면, 그 후 24시간 동안 붕괴하는 양은 (어떤 시각 t=0t=0 에 "처음" 시료가 얼마였든 상관없이) 그 1 마이크로그램의 약 0.5퍼센트이다.

특히 시료가 점점 작아지므로, 매일 붕괴하는 0.5퍼센트는 실제로 붕괴하는 원자의 수가 점점 줄어든다는 것을 뜻한다. 그래서 매일 0.5%가 붕괴하고 100×0.5=50100\times 0.5 = 50 이라고 해서, 약 100일 후에 시료의 절반(50%)이 붕괴한다고 말할 수는 없다.

원본 교재 풀이(영어)

We know that the amount of Polonium-210 in a sample after tt days is given by

Q(t)=Ce−ktwhere C is the original amount of the sample, and k is some positive constant.The question asks us what percentage of the sample decays in a day. Since t is measured in days, the amount that decays in a day is Q(t)−Q(t+1). The percentage of Q(t) that this represents is 100Q(t)−Q(t+1)Q(t). (For example, if there were two grams at time t, and one gram at time t+1, then 1002−11=50: 50% of the sample decayed in a day.)In order to simplify, we should figure out a better expression for Q(t). As usual, we make use of the half-life.Q(138)=C2Ce−k⋅138=C2(e−k)138=12=2−1e−k=2−1138Now, we have a better formula for Q(t):Q(t)=C(e−k)tQ(t)=C⋅2−t138Finally, we can evaluate what percentage of the sample decays in a day.100Q(t)−Q(t+1)Q(t)=100C⋅2−t138−C⋅2−t+1138C⋅2−t138(1C1C)=1002−t138−2−t+11382−t138=100(2−t138−2−t+1138)2t138=100(1−2−1138)≈0.5\begin{aligned} Q(t)&=Ce^{-kt} \\ \text{where $C$ is the original amount of the sample, and $k$ is some positive constant.} \\ \\ \text{The question asks us what percentage of the sample decays in a day. Since $t$ is measured in days, the amount that decays in a day is $Q(t)-Q(t+1)$. The percentage of $Q(t)$ that this represents is $100\dfrac{Q(t)-Q(t+1)}{Q(t)}$. (For example, if there were two grams at time $t$, and one gram at time $t+1$, then $100\dfrac{2-1}{1}=50$: 50\% of the sample decayed in a day.)} \\ \\ \text{In order to simplify, we should figure out a better expression for $Q(t)$. As usual, we make use of the half-life.} \\ Q(138)&=\frac{C}{2}\\ Ce^{-k\cdot138}&=\frac{C}{2}\\ \left(e^{-k}\right)^{138}&=\frac{1}{2}=2^{-1}\\ e^{-k}&=2^{-\tfrac{1}{138}} \\ \text{Now, we have a better formula for $Q(t)$:} \\ Q(t)&=C\left(e^{-k}\right)^t\\ Q(t)&=C\cdot2^{-\tfrac{t}{138}} \\ \text{Finally, we can evaluate what percentage of the sample decays in a day.} \\ 100\frac{Q(t)-Q(t+1)}{Q(t)}&=100\frac{C\cdot2^{-\tfrac{t}{138}}-C\cdot2^{-\tfrac{t+1}{138}}}{C\cdot2^{-\tfrac{t}{138}}}\left(\frac{\frac{1}{C}}{\frac{1}{C}}\right)\\ &=100\frac{2^{-\tfrac{t}{138}}-2^{-\tfrac{t+1}{138}}}{2^{-\tfrac{t}{138}}}\\ &=100\left(2^{-\tfrac{t}{138}}-2^{-\tfrac{t+1}{138}}\right)2^{\tfrac{t}{138}}\\ &=100\left(1-2^{-\tfrac{1}{138}}\right)\approx 0.5 \end{aligned}

About 0.5% of the sample decays in a day.

Remark: when we say that half a percent of the sample decays in a day, we don't mean half a percent of the original sample. If a day starts out with, say, 1 microgram, then what decays in the next 24 hours is about half a percent of that 1 microgram, regardless of what the “original" sample (at some time t=0t=0) held.

In particular, since the sample is getting smaller and smaller, that half of a percent that decays every day represents fewer and fewer actual atoms decaying. That's why we can't say that half of the sample (50%) will decay after about 100 days, even though 0.5% decays every day and 100×0.5=50100\times 0.5 = 50.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 3.3절 · 11번우리말 번역

광석 시료에 우라늄-232가 7.2±0.3 μ7.2 \pm 0.3~\mug 들어 있다고 한다. 우라늄-232의 반감기는 68.8년에서 70년 사이이다. 10년 후 이 시료에 붕괴하지 않고 남아 있는 우라늄-232의 양은 얼마인지 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

시간 tt 에서 광석 시료에 들어 있는 우라늄-232의 양은 다음과 같다.

Q(t)=Q(0)e−kt단, 6.9≤Q(0)≤7.5 이다. Q(0) 도 정확히 알지 못하고 반감기도 정확히 알지 못하므로 Q(10) 도 정확히 알 수 없으며, 두 수 사이에 있다고만 말할 수 있다. 우리의 전략은 문제에 주어진 정보로부터 Q(10) 이 가질 수 있는 가장 큰 값과 가장 작은 값을 구하는 것이다.10년 후 시료에 우라늄-232가 가장 많이 남으려면, 처음 양이 가장 많고 반감기가 가장 길어야 한다(가장 느리게 붕괴하는 경우이므로). 따라서 Q(0)=7.5, Q(70)=12(7.5) 로 놓는다.Q(t)=7.5e−kt12(7.5)=Q(70)=7.5e−k(70)12=(e−k)702−170=e−k따라서 이 경우,Q(t)=7.5⋅2−t7010년 후,Q(10)=7.5⋅2−1070≈6.79따라서 10년 후 시료에는 많아야 6.8 μg 이 들어 있다.이제 10년 후 남을 수 있는 우라늄-232의 가장 적은 양을 생각해 보자. 처음 양을 가능한 한 적게 잡아 Q(0)=6.9 로 하고, 시료가 빠르게 붕괴해야 하므로 반감기를 68.8년으로 한다.Q(t)=6.9e−kt126.9=Q(68.8)=6.9e−k(68.8)12=(e−k)68.82−168.8=e−k이 경우,Q(t)=6.9⋅2−t68.810년 후,Q(10)=6.9⋅2−1068.8≈6.24따라서 10년 후 시료에는 적어도 6.2 μg 이 들어 있다.\begin{aligned} Q(t)&=Q(0)e^{-kt} \\ \text{단, $6.9 \leq Q(0) \leq 7.5$ 이다. $Q(0)$ 도 정확히 알지 못하고 반감기도 정확히 알지 못하므로 $Q(10)$ 도 정확히 알 수 없으며, 두 수 사이에 있다고만 말할 수 있다. 우리의 전략은 문제에 주어진 정보로부터 $Q(10)$ 이 가질 수 있는 가장 큰 값과 가장 작은 값을 구하는 것이다.} \\ \\ \text{10년 후 시료에 우라늄-232가 가장 많이 남으려면, 처음 양이 가장 많고 반감기가 가장 길어야 한다(가장 느리게 붕괴하는 경우이므로). 따라서 $Q(0)=7.5$, $Q(70)=\frac{1}{2}(7.5)$ 로 놓는다.} \\ Q(t)&=7.5e^{-kt}\\ \frac{1}{2}(7.5)=Q(70)&=7.5e^{-k(70)}\\ \frac{1}{2}&=\left(e^{-k}\right)^{70}\\ 2^{-\tfrac{1}{70}}&=e^{-k} \\ \text{따라서 이 경우,} \\ Q(t)&=7.5\cdot 2^{-\tfrac{t}{70}} \\ \text{10년 후,} \\ Q(10)&=7.5\cdot 2^{-\tfrac{10}{70}}\approx 6.79 \\ \text{따라서 10년 후 시료에는 \textit{많아야} 6.8 $\mu$g 이 들어 있다.} \\ \\ \text{이제 10년 후 남을 수 있는 우라늄-232의 가장 적은 양을 생각해 보자. 처음 양을 가능한 한 적게 잡아 $Q(0)=6.9$ 로 하고, 시료가 빠르게 붕괴해야 하므로 반감기를 68.8년으로 한다.} \\ Q(t)&=6.9e^{-kt}\\ \frac{1}{2}6.9=Q(68.8)&=6.9e^{-k(68.8)}\\ \frac{1}{2}&=\left(e^{-k}\right)^{68.8}\\ 2^{-\tfrac{1}{68.8}}&=e^{-k} \\ \text{이 경우,} \\ Q(t)&=6.9\cdot 2^{-\tfrac{t}{68.8}} \\ \text{10년 후,} \\ Q(10)&=6.9\cdot 2^{-\tfrac{10}{68.8}}\approx 6.24 \\ \text{따라서 10년 후 시료에는 \textit{적어도} 6.2 $\mu$g 이 들어 있다.} \\ \end{aligned}

10년 후 시료에 들어 있는 우라늄-232의 양은 6.2에서 6.8 μ\mug 사이이다.

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