지수적 증가와 감소 연습문제 — CLP-1 · 3.3절 · 4번

CLP-1 · 3.3절 · 4번대학 수준우리말 번역

한 쌍의 쥐가 난파 사고 후 어느 섬에 오게 되었다. 이 쥐들은 맬서스 모형에 따라 번식한다. 1928년에 섬에는 쥐가 1,000마리 있었고, 다음 해에는 1500마리 있었다. 난파 사고는 언제 일어났는지 구하세요.

영어 원문 보기

A single pair of rats comes to an island after a shipwreck. They multiply according to the Malthusian model. In 1928, there were 1,000 rats on the island, and the next year there were 1500. When was the shipwreck?

정답·풀이 보기

맬서스 모형에 따르면, 배가 $t=0$ 인 해에 난파되었고 쥐 2마리가 섬에 닿았다면, 난파 $t$ 년 후 쥐의 개체 수는 다음과 같다.

$\begin{aligned} P(t)&=2e^{bt} \\ \text{어떤 상수 $b$ 에 대해 성립한다. 이 불필요한 변수 $b$ 를 없애기 위해 주어진 정보를 이용한다. 1928년이 난파 $a$ 년 후라면:} \\ 1000=P(a)&=2e^{ba}\\ 1500=P(a+1)&=2e^{b(a+1)}=2e^{ba}e^b \\ \text{따라서,} \\ (1000)\left(e^b\right)&=\left(2e^{ba}\right)\left(e^b\right)=1500 \\ \text{이로부터 다음을 알 수 있다.} \\ e^b&=\frac{1500}{1000}=1.5 \\ \text{이제 모형이 완성되었다:} \\ P(t)&=2\left(e^b\right)^t=2\cdot1.5^t \\ \text{$P(a)=1000$ 이므로 $a$ 를 구할 수 있다:} \\ 1000=P(a)&=2\cdot1.5^a\\ 500&=1.5^a\\ \log(500)&=\log\left(1.5^a\right)=a\log(1.5)\\ a&=\frac{\log(500)}{\log(1.5)}\approx 15.3 \end{aligned}$

따라서 1928년은 난파 약 15.3년 후이다. 쥐가 정확히 1000마리가 된 달이 주어지지 않았으므로, 난파는 1912년 또는 1913년에 일어난 것이 된다.

원본 교재 풀이(영어)

According to the Malthusian Model, if the ship wrecked at year $t=0$ and 2 rats washed up on the island, then $t$ years after the wreck, the population of rats will be

$\begin{aligned} P(t)&=2e^{bt} \\ \text{for some constant $b$. We want to get rid of this extraneous variable $b$, so we use the given information. If 1928 is $a$ years after the wreck:} \\ 1000=P(a)&=2e^{ba}\\ 1500=P(a+1)&=2e^{b(a+1)}=2e^{ba}e^b \\ \text{So,} \\ (1000)\left(e^b\right)&=\left(2e^{ba}\right)\left(e^b\right)=1500 \\ \text{Which tells us} \\ e^b&=\frac{1500}{1000}=1.5 \\ \text{Now, our model is complete:} \\ P(t)&=2\left(e^b\right)^t=2\cdot1.5^t \\ \text{Since $P(a)=1000$, we can find $a$:} \\ 1000=P(a)&=2\cdot1.5^a\\ 500&=1.5^a\\ \log(500)&=\log\left(1.5^a\right)=a\log(1.5)\\ a&=\frac{\log(500)}{\log(1.5)}\approx 15.3 \end{aligned}$

So, the year 1928 was about 15.3 years after the shipwreck. Since we aren't given a month when the rats reached exactly 1000 in number, that puts the shipwreck at the year 1912 or 1913.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 3.3절 · 9번우리말 번역

라듐-221의 반감기는 30초이다. 처음 시료의 0.01%만 남기까지 얼마의 시간이 걸리는지 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

시료에 들어 있는 라듐-221의 양은 다음과 같다.

$\begin{aligned} Q(t)&=Ce^{-kt} \\ \text{여기서 $C$ 는 시각 $t=0$ 에서 시료의 양이고, $k$ 는 어떤 양의 상수이다. 이 동위원소의 반감기를 알고 있으므로 $e^{-k}$ 를 구할 수 있다:} \\ \frac{C}{2}=Q(30)&=Ce^{-k\cdot 30}\\ \frac{1}{2}&=\left(e^{-k}\right)^{30}\\ 2^{-\tfrac{1}{30}}&=e^{-k} \\ \text{따라서,} \\ Q(t)&=C\left(e^{-k}\right)^t=C\cdot2^{-\tfrac{t}{30}} \\ \text{처음 시료의 0.01\% 만 남았을 때 $Q(t)=0.0001C$ 이므로:} \\ 0.0001C=Q(t)&=C\cdot 2^{-\tfrac{t}{30}}\\ 0.0001&=2^{-\tfrac{t}{30}}\\ \log(0.0001)&=\log\left(2^{-\tfrac{t}{30}}\right)\\ \log\left(10^{-4}\right)&=-\frac{t}{30}\log2\\ -4\log 10&=-\frac{t}{30}\log2\\ t&=120\cdot\frac{\log10}{\log2}\approx 398.6 \end{aligned}$

시료의 $0.01$ %만 남고 모두 붕괴하는 데 약 398.6초(즉, 대략 6분 30초)가 걸린다.

참고: 여기서도 현실성 검토를 한 번 더 할 수 있다. 반감기는 30초이다. 6분 30초는 반감기 13번에 해당한다. 따라서 시료는 13번 반으로 줄어든다: $\left(\tfrac{1}{2}\right)^{13}\approx 0.00012=0.012\%$ . 그러므로 이 13번의 반감기가 지나면 시료는 처음 양의 약 0.01%로 줄어들며, 이는 구하려던 결과와 일치한다.

이 문제로 이어서 풀기

# 지수적 증가와 감소계산보통자동 분류