부정적분의 뜻과 계산 연습문제 — CLP-1 · 4.1절 · 2번

CLP-1 · 4.1절 · 2번우리말 번역

아래 그래프에서 검은색 곡선은 $y=f(x)$ 이다. 색깔이 있는 곡선 중 어느 것이 $f(x)$ 의 부정적분(원시함수)인지 구하세요.

영어 원문 보기

On the graph below, the black curve is $y=f(x)$ . Which of the coloured curves is an antiderivative of $f(x)$ ?

정답·풀이 보기

$f(x)$ 는 그래프의 왼쪽 부분을 이루는 구간에서 0 이상이고, 오른쪽 부분에서는 음수임을 알 수 있다. 따라서 그 부정적분은 왼쪽 구간에서 증가하고, 오른쪽 구간에서 감소한다. 이는 $A(x)$ 와 $C(x)$ 에는 해당하지만 $B(x)$ 에는 해당하지 않는다.

$A(x)$ 가 수평인 접선을 갖는 점은 세 곳뿐이다. 최댓값을 갖는 점과 그림에 나타난 구간의 양 끝점이다. 반면 $C(x)$ 는 수평인 접선을 갖는 곳이 네 곳이다. 최댓값을 갖는 점, 변곡점, 그리고 그림에 나타난 구간의 양 끝점이다. $f(x)=0$ 인 곳이 네 곳이고(이들은 $C(x)$ 의 수평인 부분과 일치한다) 따라서 $C(x)$ 가 $f(x)$ 의 부정적분이라고 결론짓는다.

원본 교재 풀이(영어)

Notice $f(x)$ is nonnegative for an interval covering the left part of the graph, and negative on the right part of the graph. That means its antiderivative is increasing for the left interval, then decreasing for the right interval. This applies to $A(x)$ and $C(x)$ , but not $B(x)$ .

There are only three points where $A(x)$ has a horizontal tangent line: at its global maximum and the endpoints of the interval shown. By contrast, $C(x)$ has a horizontal tangent line in four places: at its global maximum, at its inflection point, and at the endpoints of the interval shown. Since $f(x)=0$ four times (and these line up with the horizontal portions of $C(x)$ ) we conclude $C(x)$ is the antiderivative of $f(x)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 4.1절 · 20번우리말 번역

$f(x)=2\sin^{-1}\sqrt{x}$ , $g(x)=\sin^{-1}(2x-1)$ 이라 하자. $f(x)-g(x)$ 의 도함수를 구하고 답을 간단히 하세요. 이 답은 $f(x)$ 와 $g(x)$ 사이의 관계에 대해 무엇을 뜻하는지 설명하세요.

다 풀었으면 정답 확인

연쇄 법칙을 이용하여 $f(x)$ 와 $g(x)$ 를 미분한다. $\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\arcsin(x)\right\}=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ 임을 떠올리자.

$\begin{aligned} f'(x)&=\frac{2}{\sqrt{1- \sqrt{x}^2}}\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \sqrt{x}\\ &=\frac{2}{\sqrt{1-x}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}\\ &=\frac{1}{\sqrt{x-x^2}}\\ g'(x)&=\frac{1}{\sqrt{1- (2x-1)^2}}\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{ 2x-1\}\\ &=\frac{2}{\sqrt{1-4x^2+4x-1}}\\ &=\frac{1}{\sqrt{x-x^2}}\\ \end{aligned}$

따라서 $f(x)-g(x)$ 의 도함수는 $0$ 이고, 이는 $f(x)$ 와 $g(x)$ 가 상수만큼만 차이가 남을 뜻한다. 다소 놀라운 결과일 수도 있다!

참고: $f(x)$ 와 $g(x)$ 가 상수만큼만 차이가 난다는 것을 보이는 데 미적분은 필요하지 않다. $\theta=\sin^{-1}\sqrt{x}$ 로 놓으면 $\sin\theta=\sqrt{x}$ 이고 $f(x) = 2\theta$ 이다. 그러면 $\sin \left[f(x)-\frac{\pi}{2}\right]=-\cos f(x) =-\cos 2\theta=-[1-2\sin^2\theta] =2\sin^2\theta -1=2x-1$ 처음 식과 마지막 식에 아크사인을 취하여 $f(x)-\dfrac{\pi}{2}=\arcsin(2x-1)=g(x)$ 라고 결론짓는 것이 목표이다. 그러나 $\arcsin\left(\sin\left[f(x)-\dfrac{\pi}{2}\right]\right)=f(x)-\dfrac{\pi}{2}$ 라고 말하기 전에, $-\dfrac{\pi}{2} \leq f(x)-\dfrac{\pi}{2}\leq\dfrac{\pi}{2}$ 임을 확인해야 한다. 즉 $0 \leq f(x) \leq \pi$ 임을 보여야 한다.

$0\le\theta\le\frac{\pi}{2}$ 이므로 ( $\sin^{-1}$ 의 값은 항상 $-\frac{\pi}{2}$ 와 $\frac{\pi}{2}$ 사이에 있고 $\sqrt{x}\ge 0$ 이기 때문이다), $0\le f(x)=2\theta\le \pi$ 이다. 따라서 $f(x)-\dfrac{\pi}{2}=\arcsin\left(\sin\left[f(x)-\dfrac{\pi}{2}\right]\right)=\arcsin(2x+1)=g(x).$

이 문제로 이어서 풀기

# 부정적분의 뜻과 계산그래프·표 해석기본자동 분류