정적분과 급수(구분구적법) 연습문제 — CLP-2 · 1.1절 · 25번

CLP-2 · 1.1절 · 25번우리말 번역

$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n e^{-1-2i/n}\cdot \frac{2}{n} \bigg)$ 을 서로 다른 세 가지 방법으로 적분으로 나타내세요.

영어 원문 보기

Express $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n e^{-1-2i/n}\cdot \frac{2}{n} \bigg)$ as an integral in three different ways.

정답·풀이 보기

선택 1: $\Delta x = \frac{2}{n}$ , $x_i^*= \frac{2i}{n}$ 로 놓으면, 즉 $a=0$ 일 때 $x_i^* = a + i\Delta x$ 이므로

$\begin{aligned} \lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n e^{-1-2i/n}\cdot \frac{2}{n} \bigg) &=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n e^{-1-x_i^*}\Delta x \bigg) \\ &=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n f(x_i^*)\Delta x \bigg) &&\text{여기서 $f(x) = e^{-1-x}$} \\ &=\int_a^b f(x)\,\,\mathrm{d}x&&\text{여기서 $a=x_0=0$ 이고 $b=x_n=2$} \\ &=\int_0^2 e^{-1-x}\ \,\mathrm{d}x \end{aligned}$

선택 2: $\Delta x = \frac{2}{n}$ , $x_i^*= 1+\frac{2i}{n}$ 로 놓으면, 즉 $a=1$ 일 때 $x_i^* = a + i\Delta x$ 이므로

$\begin{aligned} \lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n e^{-1-2i/n}\cdot \frac{2}{n} \bigg) &=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n e^{-x_i^*}\Delta x \bigg) \\ &=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n f(x_i^*)\Delta x \bigg) &&\text{여기서 $f(x) = e^{-x}$} \\ &=\int_a^b f(x)\,\,\mathrm{d}x&&\text{여기서 $a=x_0=1$ 이고 $b=x_n=3$} \\ &=\int_1^3 e^{-x}\ \,\mathrm{d}x \end{aligned}$

선택 3: $\Delta x = \frac{1}{n}$ , $x_i^*= \frac{i}{n}$ 로 놓으면, 즉 $a=0$ 일 때 $x_i^* = a + i\Delta x$ 이므로

$\begin{aligned} \lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n e^{-1-2i/n}\cdot \frac{2}{n} \bigg) &=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n e^{-1-2x_i^*}\ 2\Delta x \bigg) \\ &=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n f(x_i^*)\Delta x \bigg) &&\text{여기서 $f(x) = 2e^{-1-2x}$} \\ &=\int_a^b f(x)\,\,\mathrm{d}x&&\text{여기서 $a=x_0=0$ 이고 $b=x_n=1$} \\ &=2\int_0^1 e^{-1-2x}\ \,\mathrm{d}x \end{aligned}$

선택 4: $\Delta x = \frac{1}{n}$ , $x_i^*= \frac{1}{2}+\frac{i}{n}$ 로 놓으면, 즉 $a=\frac{1}{2}$ 일 때 $x_i = a + i\Delta x$ 이므로

$\begin{aligned} \lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n e^{-1-2i/n}\cdot \frac{2}{n} \bigg) &=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n e^{-2x_i}\ 2\Delta x \bigg) \\ &=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n f(x_i^*)\Delta x \bigg) &&\text{여기서 $f(x) = 2e^{-2x}$} \\ &=\int_a^b f(x)\,\,\mathrm{d}x&&\text{여기서 $a=x_0=\frac{1}{2}$ 이고 $b=x_n=\frac{3}{2}$} \\ &=2\int_{1/2}^{3/2} e^{-2x}\ \,\mathrm{d}x \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

Choice #1: If we set $\Delta x = \frac{2}{n}$ and $x_i^*= \frac{2i}{n}$ , i.e. $x_i^* = a + i\Delta x$ with $a=0$ , then

$\begin{aligned} \lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n e^{-1-2i/n}\cdot \frac{2}{n} \bigg) &=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n e^{-1-x_i^*}\Delta x \bigg) \\ &=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n f(x_i^*)\Delta x \bigg) &&\text{with $f(x) = e^{-1-x}$} \\ &=\int_a^b f(x)\,\,\mathrm{d}x&&\text{with $a=x_0=0$ and $b=x_n=2$} \\ &=\int_0^2 e^{-1-x}\ \,\mathrm{d}x \end{aligned}$

Choice #2: If we set $\Delta x = \frac{2}{n}$ and $x_i^*= 1+\frac{2i}{n}$ , i.e. $x_i^* = a + i\Delta x$ with $a=1$ , then

$\begin{aligned} \lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n e^{-1-2i/n}\cdot \frac{2}{n} \bigg) &=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n e^{-x_i^*}\Delta x \bigg) \\ &=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n f(x_i^*)\Delta x \bigg) &&\text{with $f(x) = e^{-x}$} \\ &=\int_a^b f(x)\,\,\mathrm{d}x&&\text{with $a=x_0=1$ and $b=x_n=3$} \\ &=\int_1^3 e^{-x}\ \,\mathrm{d}x \end{aligned}$

Choice #3: If we set $\Delta x = \frac{1}{n}$ and $x_i^*= \frac{i}{n}$ , i.e. $x_i^* = a + i\Delta x$ with $a=0$ , then

$\begin{aligned} \lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n e^{-1-2i/n}\cdot \frac{2}{n} \bigg) &=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n e^{-1-2x_i^*}\ 2\Delta x \bigg) \\ &=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n f(x_i^*)\Delta x \bigg) &&\text{with $f(x) = 2e^{-1-2x}$} \\ &=\int_a^b f(x)\,\,\mathrm{d}x&&\text{with $a=x_0=0$ and $b=x_n=1$} \\ &=2\int_0^1 e^{-1-2x}\ \,\mathrm{d}x \end{aligned}$

Choice #4: If we set $\Delta x = \frac{1}{n}$ and $x_i^*= \frac{1}{2}+\frac{i}{n}$ , i.e. $x_i = a + i\Delta x$ with $a=\frac{1}{2}$ , then

$\begin{aligned} \lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n e^{-1-2i/n}\cdot \frac{2}{n} \bigg) &=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n e^{-2x_i}\ 2\Delta x \bigg) \\ &=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n f(x_i^*)\Delta x \bigg) &&\text{with $f(x) = 2e^{-2x}$} \\ &=\int_a^b f(x)\,\,\mathrm{d}x&&\text{with $a=x_0=\frac{1}{2}$ and $b=x_n=\frac{3}{2}$} \\ &=2\int_{1/2}^{3/2} e^{-2x}\ \,\mathrm{d}x \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 1.1절 · 47번우리말 번역

$f(x)$ 를 일차함수, $a<b$ 를 정수, $n$ 을 0 이상의 정수라고 하자. 참 또는 거짓: $\displaystyle\int_a^b f(x)\ \mathrm{d}x$ 에 대해 직사각형 $n$ 개를 사용한 왼쪽 리만 합과 오른쪽 리만 합의 평균을 구하면, 직사각형 $n$ 개를 사용한 중점 리만 합과 같은 값이 된다.

다 풀었으면 정답 확인

$f(x)$ 가 일차함수이므로 $f(x)=mx+c$ 를 만족시키는 실수 $m$ , $c$ 가 존재한다. 이제 계산해 보자. 리만 합의 직사각형 하나가 구간 $[x,x+w]$ 를 차지한다고 하자.

왼쪽 리만 합을 사용하면 직사각형의 높이는 $f(x)=mx+c$ 이다. 따라서 넓이는 $w(mx+c)$ 이다.
오른쪽 리만 합을 사용하면 직사각형의 높이는 $f(x+w)=m(x+w)+c=mx+c+mw$ 이다. 따라서 넓이는 $w(mx+c+mw)$ 이다.
중점 리만 합을 사용하면 직사각형의 높이는 $f(x+\frac{1}{2}w)=m(x+\frac{1}{2}w)+c=mx+c+\frac{1}{2}mw$ 이다. 따라서 넓이는 $w\left(mx+c+\frac{1}{2}w\right)$ 이다.

그러므로 각 직사각형마다 중점 직사각형의 넓이는 왼쪽 직사각형과 오른쪽 직사각형 넓이의 평균과 같다. $w\left(mx+c+\frac{1}{2}mw\right) = \dfrac{ w(mx+c)+ w(mx+c+mw)}{2}$ 따라서 중점 리만 합의 값은 왼쪽 리만 합과 오른쪽 리만 합의 값의 평균과 같다. 이를 확인하기 위해, 중점 리만 합의 직사각형들의 넓이를 $M_1,M_2,\ldots,M_n$ 이라 하고, 왼쪽 리만 합의 직사각형들의 넓이를 $L_1,L_2,\ldots,L_n$ 이라 하며, 오른쪽 리만 합의 직사각형들의 넓이를 $R_1,R_2,\ldots,R_n$ 이라 하자. 그러면 중점 리만 합의 값은 $M_1+M_2+\cdots+M_n$ 이고,

$\begin{aligned}\dfrac{ [L_1+L_2+\ldots+L_n]+ [R_1+R_2+\ldots+R_n] }{2} &= \dfrac{ L_1+ R_1 }{2}+ \dfrac{ L_2+ R_2 }{2}+ \cdots + \dfrac{ L_n+ R_n }{2} \\ &=M_1+M_2+\cdots+M_n\end{aligned}$

이다. 따라서 주어진 명제는 참이다.

(그러나 일차함수가 아닌 많은 함수 $f(x)$ 에 대해서는 거짓이다.)

이 문제로 이어서 풀기

# 정적분과 급수(구분구적법)계산보통자동 분류