부분분수 적분 연습문제 — CLP-2 · 1.10절 · 15번

CLP-2 · 1.10절 · 15번대학 수준우리말 번역

$\displaystyle\int \frac{x^2+2x-1}{x^4-2x^3+x^2}~\mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle\int \frac{x^2+2x-1}{x^4-2x^3+x^2}~\mathrm{d}x$ .

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

정답·풀이 보기

피적분함수는 뚜렷한 치환이 보이지 않는 유리함수이므로 부분분수분해를 이용한다.

분자의 차수가 분모의 차수보다 확실히 작으므로 긴 나눗셈으로 시작할 필요가 없다.
그러나 분모는 인수분해해야 한다. $x^2$ 은 바로 묶어 낼 수 있고, 나머지는 $x^2-2x+1 = (x-1)^2$ 이다.
이제 부분분수분해를 할 수 있다.

$\begin{aligned} \frac{x^2+2x-1}{x^4-2x^3+x^2}&= \frac{x^2+2x-1}{x^2(x-1)^2} = \frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{C}{x-1}+\frac{D}{(x-1)^2} \\ \text{양변에 처음 분모를 곱한다.} \\ x^2+2x-1&=Ax(x-1)^2+B(x-1)^2+Cx^2(x-1)+Dx^2\tag{1} \\ \text{요령껏 $x=0$ 을 대입하면 다음을 얻는다:} \\ -1&=B \\ \text{또 $x=1$ 을 대입하면 다음을 얻는다:} \\ 2&=D \\ \text{$B$ 와 $D$ 를 이용하여 식 (1)을 간단히 한다.} \\ x^2+2x-1&=Ax(x-1)^2 -1(x-1)^2+Cx^2(x-1)+ 2x^2\\ 0&=Ax(x-1)^2+Cx^2(x-1)\\ &=x(x-1)[(A+C)x-A]\\ \text{따라서,}\qquad 0&=(A+C)x-A \end{aligned}$

즉, $A=C=0$ 이다.

이제 적분의 값을 구할 수 있다.

$\begin{aligned} \int \frac{x^2+2x-1}{x^4-2x^3+x^2}~\mathrm{d}x&=\int \left(\frac{-1}{x^2}+\frac{2}{(x-1)^2}\right)~\mathrm{d}x\\ &=\frac{1}{x}-\frac{2}{x-1}+C \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

The integrand is a rational function with no obvious substitution, so we'll use a partial fraction decomposition.

Since the numerator has strictly smaller degree than the denominator, we don't need to start off with a long division.
We do, however, need to factor the denominator. We can immediately pull out $x^2$ ; the remaining part is $x^2-2x+1 = (x-1)^2$ .
Now we can perform our partial fraction decomposition.

$\begin{aligned} \frac{x^2+2x-1}{x^4-2x^3+x^2}&= \frac{x^2+2x-1}{x^2(x-1)^2} = \frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{C}{x-1}+\frac{D}{(x-1)^2} \\ \text{Multiply both sides by the original denominator.} \\ x^2+2x-1&=Ax(x-1)^2+B(x-1)^2+Cx^2(x-1)+Dx^2\tag{1} \\ \text{To be sneaky, we set $x=0$, and find:} \\ -1&=B \\ \text{We also set $x=1$, and find:} \\ 2&=D \\ \text{We use $B$ and $D$ to simplify Equation (1).} \\ x^2+2x-1&=Ax(x-1)^2 -1(x-1)^2+Cx^2(x-1)+ 2x^2\\ 0&=Ax(x-1)^2+Cx^2(x-1)\\ &=x(x-1)[(A+C)x-A]\\ \text{So,}\qquad 0&=(A+C)x-A \end{aligned}$

That is, $A=C=0$ .

Now we can evaluate our integral.

$\begin{aligned} \int \frac{x^2+2x-1}{x^4-2x^3+x^2}~\mathrm{d}x&=\int \left(\frac{-1}{x^2}+\frac{2}{(x-1)^2}\right)~\mathrm{d}x\\ &=\frac{1}{x}-\frac{2}{x-1}+C \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 1.10절 · 1번우리말 번역

아래는 서로 다른 네 이차함수의 그래프입니다. 각 이차함수가 (1) 기약인지, (2) 서로 다른 두 일차 인수의 곱인지, (3) 중복된 일차 인수(와 경우에 따라 상수)의 곱인지 판단하세요.

다 풀었으면 정답 확인

이차함수가 어떤 상수 $a,b,c,d$ 에 대해 $(ax+b)(cx+d)$ 로 인수분해되면, 그 근은 $-\frac{b}{a}$ 와 $-\frac{d}{c}$ 이다. 따라서 이차함수가 근을 갖지 않으면 기약이다. 그래프 (d)의 함수가 이 경우이다.

이차함수가 서로 다른 두 근을 가지면, 어떤 상수 $\alpha$ 에 대해서도 $(ax+b) \neq \alpha(cx+d)$ 이다. 즉, 이 이차함수는 서로 다른 일차 인수들의 곱이다. (b)와 (c)에 그려진 함수는 각각 $x$ 축과 만나는 서로 다른 점이 두 개이므로 이 경우이다.

마지막으로, 이차함수가 근을 정확히 하나만 가지면 $\frac{b}{a}=\frac{d}{c}$ 이므로 다음이 성립한다.

$\begin{aligned} (ax+b)(cx+d)&=a(x+\tfrac{b}{a})(cx+d) = a(x+\tfrac{d}{c})(cx+d) = \tfrac{a}{c}(cx+d)(cx+d) \end{aligned}$

즉, 이 이차함수는 중복된 일차 인수와 상수 $\frac{a}{c}$ (단순히 $\frac{a}{c}=1$ 일 수도 있다)의 곱이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 부분분수 적분계산보통자동 분류