부분분수 적분 연습문제 — CLP-2 · 1.10절 · 16번

CLP-2 · 1.10절 · 16번대학 수준우리말 번역

$\displaystyle\int \frac{ 3x^2-4x-10}{2x^3-x^2-8x+4}~\mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle\int \frac{ 3x^2-4x-10}{2x^3-x^2-8x+4}~\mathrm{d}x$ .

정답·풀이 보기

피적분함수는 뚜렷한 치환이 보이지 않는 유리함수이므로 부분분수 방법을 사용한다.

분자의 차수가 분모의 차수보다 작다.
분모를 인수분해해야 한다. 처음 두 항의 비와 마지막 두 항의 비가 같다.

$\begin{aligned} 2x^3-x^2-8x+4&=x^2(2x-1)-4(2x-1) \\ &= (x^2-4)(2x-1)\\ &=(x-2)(x+2)(2x-1) \end{aligned}$

이제 부분분수 분해를 구한다.

$\begin{aligned} \frac{ 3x^2-4x-10}{2x^3-x^2-8x+4}&=\frac{ 3x^2-4x-10}{(x-2)(x+2)(2x-1)}= \frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+2}+\frac{C}{2x-1} \\ \text{양변에 처음의 분모를 곱한다.} \\ 3x^2-4x-10&=A(x+2)(2x-1)+B(x-2)(2x-1)+C(x-2)(x+2) \\ \text{서로 다른 일차식의 곱인 경우는 요령 있는 방법을 쓰기에 가장 좋은 경우이다. 먼저 $x=2$ 로 놓자.} \\ 3(4)-4(2)-10&=A(4)(3)+B(0)+C(0)\\ A&=-\frac{1}{2} \\ \text{이번에는 $x=-2$ 로 놓자.} \\ 3(4)-4(-2)-10&=A(0)+B(-4)(-5)+C(0)\\ B&=\frac{1}{2} \\ \text{마지막으로 $x=\frac{1}{2}$ 로 놓자.} \\ \frac{3}{4}-2-10&=A(0)+B(0)+C\left(-\frac{3}{2}\right)\left(\frac{5}{2}\right)\\ C&=3 \end{aligned}$

이제 새로운 꼴로 나타낸 적분의 값을 구할 수 있다.

$\begin{aligned} \int \frac{ 3x^2-4x-10}{2x^3-x^2-8x+4}~\mathrm{d}x&=\int \left(\frac{-1/2}{x-2}+\frac{1/2}{x+2}+\frac{3}{2x-1}\right) ~\mathrm{d}x\\ &=-\frac{1}{2}\log|x-2| + \frac{1}{2}\log|x+2| + \frac{3}{2}\log|2x-1|+C \\&=\frac{1}{2}\log\left| \frac{x+2}{x-2} \right| + \frac{3}{2}\log|2x-1|+C \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

Our integrand is a rational function with no obvious substitution, so we'll use the method of partial fractions.

The degree of the numerator is less than the degree of the denominator.
We need to factor the denominator. The first two terms have the same ratio as the last two terms.

$\begin{aligned} 2x^3-x^2-8x+4&=x^2(2x-1)-4(2x-1) \\ &= (x^2-4)(2x-1)\\ &=(x-2)(x+2)(2x-1) \end{aligned}$

Now we find our partial fraction decomposition.

$\begin{aligned} \frac{ 3x^2-4x-10}{2x^3-x^2-8x+4}&=\frac{ 3x^2-4x-10}{(x-2)(x+2)(2x-1)}= \frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+2}+\frac{C}{2x-1} \\ \text{Multiply both sides by the original denominator.} \\ 3x^2-4x-10&=A(x+2)(2x-1)+B(x-2)(2x-1)+C(x-2)(x+2) \\ \text{Distinct linear factors is the best possible scenario for the sneaky method. First, let's set $x=2$.} \\ 3(4)-4(2)-10&=A(4)(3)+B(0)+C(0)\\ A&=-\frac{1}{2} \\ \text{Now, let $x=-2$.} \\ 3(4)-4(-2)-10&=A(0)+B(-4)(-5)+C(0)\\ B&=\frac{1}{2} \\ \text{Finally, let $x=\frac{1}{2}$.} \\ \frac{3}{4}-2-10&=A(0)+B(0)+C\left(-\frac{3}{2}\right)\left(\frac{5}{2}\right)\\ C&=3 \end{aligned}$

Now we can evaluate our integral in its new form.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 1.10절 · 7번우리말 번역

$\displaystyle\int_1^2 \frac{\mathrm{d}x}{x+x^2}$ 의 값을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

피적분함수는 유리함수이므로 부분분수로 분해할 수 있는 후보이다. 뻔한 치환이나 부분적분은 바로 배제할 수 있으므로, 분해를 그대로 진행한다.

먼저 피적분함수, 즉 분수 $\frac{1}{x+x^2}=\frac{1}{x(1+x)}$ 을 더 간단한 분수 $\frac{1}{x}$ 과 $\frac{1}{x+1}$ 의 일차결합으로 나타낸다(이 두 분수의 적분은 이미 알고 있다). 그러면

$\begin{aligned} \frac{1}{x+x^2}=\frac{1}{x(1+x)} = \frac{a}{x} + \frac{b}{x+1} =\frac{a(x+1) +bx}{x(1+x)} \end{aligned}$

이다.

좌변의 분수와 우변의 분수가 같을 필요충분조건은 좌변의 분자 $1 = 0x + 1$ 이 우변의 분자 $a(x+1)+bx = (a+b)x +a$ 와 같은 것이다. 이는 다시 $a=1$ (즉 두 분자의 상수항이 같다)이고 $a+b=0$ (즉 두 분자에서 $x$ 의 계수가 같다)일 필요충분조건이다. 따라서 $a=1$ , $b=-1$ 이다. 이제 적분을 쉽게 계산할 수 있다.

$\begin{aligned} \int_1^2 \frac{\mathrm{d}x}{x+x^2} &=\int_1^2 \frac{\mathrm{d}x}{x(x+1)} =\int_1^2 \Big(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\Big)\,\mathrm{d}x =\Big[\log x-\log(x+1)\Big]_1^2\\ &=\log 2-\log\frac{3}{2} =\log\frac{4}{3} \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 부분분수 적분계산보통자동 분류