이상적분

(a) 이상적분을 극한으로 나타내고, 치환 $u = \ln(x)$, $du = \frac{1}{x} \ dx$ 를 이용하여 정적분을 계산한 다음 극한을 취한다. $$\begin{aligned}\int_e^{\infty} \frac{\ln(x)}{x} \, dx &= \lim_{b \to \infty} \int_e^{b} \frac{\ln(x)}{x} \, dx \\ &= \lim_{b \to \infty} \int_1^{\ln(b)} u \, du \\ &= \lim_{b \to \infty} \left( \frac{u^2}{2} \right)\biggm|_1^{\ln(b)} \\ &= \lim_{b \to \infty} \left( \frac{(\ln(b))^2}{2} - \frac{1}{2} \right) \\ &= \infty\end{aligned}\,.$$ 따라서 이상적분 $\int_e^{\infty} \frac{\ln(x)}{x} \, dx$ 는 발산한다. (b) 이상적분을 극한으로 나타내고, 치환 $u = \ln(x)$, $du = \frac{1}{x} \ dx$ 를 이용하여 정적분을 다시 계산한 다음 극한을 취한다. $$\begin{aligned}\int_e^{\infty} \frac{1}{x\ln(x)} \, dx &= \lim_{b \to \infty} \int_e^{b} \frac{1}{x\ln(x)} \, dx \\ &= \lim_{b \to \infty} \int_1^{\ln(b)} \frac{1}{u} \, du \\ &= \lim_{b \to \infty} \left( \ln(|u|) \right)\biggm|_1^{\ln(b)} \\ &= \lim_{b \to \infty} \left( \ln(|\ln(b)|) - \ln(1) \right) \\ &= \infty\end{aligned}\,.$$ 따라서 이상적분 $\int_e^{\infty} \frac{1}{x\ln(x)} \, dx$ 는 발산한다. (c) 이번에도 이상적분을 극한으로 나타내고, 치환 $u = \ln(x)$, $du = \frac{1}{x} \ dx$ 를 이용하여 정적분을 계산한 다음 극한을 취한다. $$\begin{aligned}\int_e^{\infty} \frac{1}{x(\ln(x))^2} \, dx &= \lim_{b \to \infty} \int_e^{b} \frac{1}{x(\ln(x))^2} \, dx \\ &= \lim_{b \to \infty} \int_1^{\ln(b)} \frac{1}{u^2} \, du \\ &= \lim_{b \to \infty} \left( -u^{-1} \right)\biggm|_1^{\ln(b)} \\ &= \lim_{b \to \infty} \left( -\frac{1}{\ln(b)} - (-1) \right) \\ &= 1\end{aligned}\,.$$ 따라서 이상적분 $\int_e^{\infty} \frac{1}{x(\ln(x))^2} \, dx$ 는 $1$ 로 수렴한다. (d) 이번에도 이상적분을 극한으로 나타내고, 치환 $u = \ln(x)$, $du = \frac{1}{x} \ dx$ 를 이용하여 정적분을 다시 나타낸다. $p=1$ 이면 (b)에 의해 이 적분은 발산한다. $p \neq 1$ 이면 다음과 같다. $$\begin{aligned}\int_e^{\infty} \frac{1}{x(\ln(x))^p} \, dx &= \lim_{b \to \infty} \int_e^{b} \frac{1}{x(\ln(x))^p} \, dx \\ &= \lim_{b \to \infty} \int_1^{\ln(b)} \frac{1}{u^p} \, du \\ &= \lim_{b \to \infty} \int_1^{\ln(b)} u^{-p} \, du \\ &= \lim_{b \to \infty} \left( \frac{u^{-p+1}}{-p+1} \right)\biggm|_1^{\ln(b)} \\ &= \frac{1}{1-p} \lim_{b \to \infty} \left( (\ln(b))^{1-p} - 1 \right) \\ &= 1\end{aligned}\,.$$ $p < 1$ 이면 $1-p > 0$ 이고 $$\frac{1}{1-p} \lim_{b \to \infty} \left( (\ln(b))^{1-p} - 1 \right) = \left(\frac{1}{1-p}\right)\infty = \infty\,.$$ 이 경우 이상적분 $\int_e^{\infty} \frac{1}{x(\ln(x))^p} \, dx$ 는 발산한다. $p > 1$ 이면 $1-p < 0$ 이고 $$\frac{1}{1-p}\lim_{b \to \infty} \left( (\ln(b))^{1-p} - 1 \right) = \frac{1}{1-p}\lim_{b \to \infty} \left( \frac{1}{(\ln(b))^{p-1}} - 1 \right) = \left(\frac{1}{1-p}\right)(0-1) = \frac{1}{p-1}$$ 이 경우 이상적분 $\int_e^{\infty} \frac{1}{x(\ln(x))^p} \, dx$ 는 $\frac{1}{p-1}$ 로 수렴한다. 따라서 이상적분 $\int_e^{\infty} \frac{1}{x(\ln(x))^p} \, dx$ 는 $p \leq 1$ 이면 발산하고, $p > 1$ 이면 $\frac{1}{p-1}$ 로 수렴한다. (e) 이 적분은 피적분함수가 $x = 0$ 에서 정의되지 않으므로 이상적분이다. 따라서 이상적분을 극한으로 나타내고, 치환 $u = \ln(x)$, $du = \frac{1}{x} \ dx$ 를 이용하여 정적분을 계산한 다음 극한을 취한다. $$\begin{aligned}\int_0^1 \frac{\ln(x)}{x} \, dx &= \lim_{a \to 0^+} \int_a^1 \frac{\ln(x)}{x} \, dx \\ &= \lim_{a \to 0^+} \int_{\ln(a)}^{0} u \, du \\ &= \lim_{a \to 0^+} \left( \frac{u^2}{2} \right)\biggm|_{\ln(a)}^{0} \\ &= \lim_{a \to 0^+} \left( -\frac{(\ln(a))^2}{2} \right) \\ &= -\infty\end{aligned}\,.$$ 따라서 이상적분 $\int_0^1 \frac{\ln(x)}{x} \, dx$ 는 발산한다. (f) 이 적분은 피적분함수가 $x=0$ 에서 정의되지 않으므로 이상적분이다. 따라서 이상적분을 극한으로 나타낸 다음, $u = \ln(x)$, $du = \frac{1}{x} \, dx$, $dv = dx$, $v = x$ 로 두고 부분적분을 이용하여 정적분을 계산한 후 극한을 취한다. $$\begin{aligned}\int_0^1 \ln(x) \, dx &= \lim_{a \to 0^+} \int_a^1 \ln(x) \, dx \\ &= \lim_{a \to 0^+} \left( x\ln(x)\biggm|_a^1 - \int_{a}^{1} \ dx \right) \\ &= \lim_{a \to 0^+} \left( -a\ln(a) - x\biggm|_{\ln(a)}^{0} \right) \\ &= \lim_{a \to 0^+} \left( -a\ln(a) - (1-a) \right) \\ &= \lim_{a \to 0^+} \left( -a\ln(a) \right) - 1\end{aligned}\,.$$ 극한 $\lim_{a \to 0^+} \left( -a\ln(a) \right)$ 은 $0 \times \infty$ 꼴로 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용할 수 있는 꼴로 고쳐 써야 한다. 이제 $$\lim_{a \to 0^+} \left( -a\ln(a) \right) = \lim_{a \to 0^+} \left( \frac{-\ln(a)}{\frac{1}{a}} \right)\,,$$ 이고, 이 뒤의 극한은 $\frac{\infty}{\infty}$ 꼴이다. 로피탈의 정리를 적용하면 $$\begin{aligned}\lim_{a \to 0^+} \left( \frac{-\ln(a)}{\frac{1}{a}} \right) &= \lim_{a \to 0^+} \left( \frac{-\frac{1}{a}}{-\frac{1}{a^2}} \right) \\ &= \lim_{a \to 0^+} a \\ &= 0\end{aligned}$$ 앞에서 얻은 등식 $$\int_0^1 \ln(x) \, dx = \lim_{a \to 0^+} \left( -a\ln(a) \right) - 1\,,$$ 으로 돌아가면, 방금 구한 극한에 의해 이상적분 $\int_0^1 \ln(x) \, dx$ 는 $-1$ 로 수렴한다.