이상적분 연습문제 — CLP-2 · 1.12절 · 27번

CLP-2 · 1.12절 · 27번대학 수준우리말 번역

참 또는 거짓: $x \geq 1$ 인 어떤 실수 $x$ 가 존재하여 $\displaystyle\int_0^x \frac{1}{e^t}~\mathrm{d}t = 1$ 이다.

영어 원문 보기

True or false: There is some real number $x$ , with $x \geq 1$ , such that $\displaystyle\int_0^x \frac{1}{e^t}~\mathrm{d}t = 1$ .

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정답·풀이 보기

$F(x)= \int_0^x \frac{1}{e^{t}}\mathrm{d}t$ 라 하자.

$\begin{aligned} F(x)=\int_0^x \frac{1}{e^{t}}\mathrm{d}t&=\left[-\frac{1}{e^{t}}\right]_0^x = \frac{1}{e^0}-\frac{1}{e^{x}}<\frac{1}{e^0}=1 \end{aligned}$

따라서 주어진 명제는 거짓이다. $F(x)=1$ 인 $x$ 는 존재하지 않는다. 모든 실수 $x$ 에 대해 $F(x) < \frac{1}{e^0}=1$ 이다.

여기서 $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \int_0^x\frac{1}{e^{t}}\mathrm{d}t=1$ 임에 주목하자. 즉 $x$ 가 커질수록 $F(x)$ 와 1 의 차는 한없이 작아진다. 그러나 $F(x)$ 가 정확히 1 과 같아지는 실수 $x$ 의 값은 없다.

원본 교재 풀이(영어)

Define $F(x)= \int_0^x \frac{1}{e^{t}}\mathrm{d}t$ .

$\begin{aligned} F(x)=\int_0^x \frac{1}{e^{t}}\mathrm{d}t&=\left[-\frac{1}{e^{t}}\right]_0^x = \frac{1}{e^0}-\frac{1}{e^{x}}<\frac{1}{e^0}=1 \end{aligned}$

So, the statement is false: there is no $x$ such that $F(x)=1$ . For every real $x$ , $F(x) < \frac{1}{e^0}=1$ .

We note here that $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \int_0^x\frac{1}{e^{t}}\mathrm{d}t=1$ . So, as $x$ grows larger, the gap between $F(x)$ and 1 grows infintesimally small. But there is no real value of $x$ where $F(x)$ is exactly equal to 1.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 3.7절 · 29번우리말 번역

다음 적분의 값을 구하세요. 적분이 발산하면 "발산한다"라고 답하세요.

${\int }_{0}^{1}\frac{dx}{{x}^{\pi }}$

다 풀었으면 정답 확인

발산한다

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