삼각함수의 적분 연습문제 — CLP-2 · 1.8절 · 1번

CLP-2 · 1.8절 · 1번대학 수준우리말 번역

$\displaystyle\int_0^{\pi/4} \sin x \cos^n x ~\mathrm{d}x$ 의 값을 치환 $u=\cos x$ 를 이용하여 구하려고 합니다. 치환이 성립하기 위해 참이어야 하는 것은 다음 중 어느 것입니까?

(a) $n$ 은 짝수여야 한다 (b) $n$ 은 홀수여야 한다 (c) $n$ 은 정수여야 한다 (d) $n$ 은 양수여야 한다 (e) $n$ 은 임의의 실수일 수 있다

영어 원문 보기

Suppose you want to evaluate $\displaystyle\int_0^{\pi/4} \sin x \cos^n x ~\mathrm{d}x$ using the substitution $u=\cos x$ . Which of the following need to be true for your substitution to work?

(a) $n$ must be even (b) $n$ must be odd (c) $n$ must be an integer (d) $n$ must be positive (e) $n$ can be any real number

정답·풀이 보기

$u=\cos x$ 이면 $\mathrm{d}u=-\sin x\,\mathrm{d}x$ 이다. $n \neq -1$ 이면

$\begin{aligned} \int_0^{\pi/4} \sin x \cos^n x ~\mathrm{d}x&= - \int_1^{1/\sqrt2} u^n \mathrm{d}u = \left[-\frac{1}{n+1}u^{n+1}\right]_1^{1/\sqrt2}=\frac{1}{n+1}\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}^{n+1}}\right) \\ \text{$n=-1$ 이면} \\ \int_0^{\pi/4} \sin x \cos^n x ~\mathrm{d}x&= - \int_1^{1/\sqrt2} u^n \mathrm{d}u = - \int_1^{1/\sqrt2} \frac{1}{u} \mathrm{d}u =\bigg[ -\log|u|\bigg]_1^{1/\sqrt2} \\ & =-\log\left(\frac{1}{\sqrt2}\right) = \frac{1}{2}\log 2 \end{aligned}$

따라서 (e) $n$ 은 임의의 실수일 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

If $u=\cos x$ , then $\mathrm{d}u=-\sin x\,\mathrm{d}x$ . If $n \neq -1$ , then

$\begin{aligned} \int_0^{\pi/4} \sin x \cos^n x ~\mathrm{d}x&= - \int_1^{1/\sqrt2} u^n \mathrm{d}u = \left[-\frac{1}{n+1}u^{n+1}\right]_1^{1/\sqrt2}=\frac{1}{n+1}\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}^{n+1}}\right) \\ \text{If $n=-1$, then} \\ \int_0^{\pi/4} \sin x \cos^n x ~\mathrm{d}x&= - \int_1^{1/\sqrt2} u^n \mathrm{d}u = - \int_1^{1/\sqrt2} \frac{1}{u} \mathrm{d}u =\bigg[ -\log|u|\bigg]_1^{1/\sqrt2} \\ & =-\log\left(\frac{1}{\sqrt2}\right) = \frac{1}{2}\log 2 \end{aligned}$

So, (e) $n$ can be any real number.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 3.2절 · 39번우리말 번역

다음 연습문제에서 정적분의 값을 구하세요. 가능하면 답을 정확한 형태로 나타내세요.

${\int }_{0}^{2\pi }\sin x\sin (2x)\sin (3x)dx$

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

이 문제로 이어서 풀기

# 삼각함수의 적분계산기본자동 분류