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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 적분 기법

삼각함수의 적분

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-2 · 1.8절 · 28번대학 수준우리말 번역

∫sin⁡(cos⁡x)sin⁡3x dx\displaystyle\int \sin(\cos x)\sin^3 x ~\mathrm{d}x 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate ∫sin⁡(cos⁡x)sin⁡3x dx\displaystyle\int \sin(\cos x)\sin^3 x ~\mathrm{d}x.

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부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

정답·풀이 보기

“안쪽 함수”가 있으므로 s=cos⁡xs=\cos x 로 치환하며 시작한다. 그러면 −ds=sin⁡x dx-\mathrm{d}s=\sin x ~\mathrm{d}x 이고 sin⁡2x=1−cos⁡2x=1−s2\sin^2 x = 1-\cos^2 x = 1-s^2 이다.

∫sin⁡(cos⁡x)sin⁡3x dx=∫sin⁡(cos⁡x)⋅sin⁡2x⋅sin⁡xdx=−∫sin⁡(s)⋅(1−s2) dsu=(1−s2), dv=sin⁡s ds 로 놓고 부분적분을 하면 du=−2s ds, v=−cos⁡s 이다.=−[−(1−s2)cos⁡s−∫2scos⁡s ds]=(1−s2)cos⁡s+∫2scos⁡s dsu=2s, dv=cos⁡s ds 로 놓고 다시 부분적분을 하면 du=2 ds, v=sin⁡s 이다.=(1−s2)cos⁡s+2ssin⁡s−∫2sin⁡s ds=(1−s2)cos⁡s+2ssin⁡s+2cos⁡s+C=sin⁡2x⋅cos⁡(cos⁡x)+2cos⁡x⋅sin⁡(cos⁡x)+2cos⁡(cos⁡x)+C=(sin⁡2x+2)cos⁡(cos⁡x)+2cos⁡x⋅sin⁡(cos⁡x)+C\begin{aligned} \int \sin(\cos x)\sin^3 x ~\mathrm{d}x&=\int \sin(\cos x) \cdot \sin^2 x \cdot \sin x \mathrm{d}x\\ &=-\int \sin(s)\cdot (1-s^2) ~\mathrm{d}s \\ \text{$u=(1-s^2)$, $\mathrm{d}v=\sin s ~\mathrm{d}s$ 로 놓고 부분적분을 하면 $\mathrm{d}u=-2s~\mathrm{d}s$, $v = -\cos s$ 이다.} \\ &=-\left[-(1-s^2)\cos s - \int 2s\cos s~ \mathrm{d}s\right] \\&= (1-s^2)\cos s + \int 2s\cos s~ \mathrm{d}s \\ \text{$u=2s$, $\mathrm{d}v=\cos s ~\mathrm{d}s$ 로 놓고 다시 부분적분을 하면 $\mathrm{d}u=2~\mathrm{d}s$, $v=\sin s$ 이다.} \\ &=(1-s^2)\cos s + 2s\sin s - \int 2\sin s~\mathrm{d}s \\&=(1-s^2)\cos s + 2s\sin s +2\cos s +C \\&=\sin^2 x\cdot\cos (\cos x) + 2\cos x\cdot\sin (\cos x) +2\cos (\cos x) +C \\&=(\sin^2x+2)\cos (\cos x) + 2\cos x\cdot\sin (\cos x) +C \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

Since we have an “inside function," we start with the substitution s=cos⁡xs=\cos x, so −ds=sin⁡x dx-\mathrm{d}s=\sin x ~\mathrm{d}x and sin⁡2x=1−cos⁡2x=1−s2\sin^2 x = 1-\cos^2 x = 1-s^2.

∫sin⁡(cos⁡x)sin⁡3x dx=∫sin⁡(cos⁡x)⋅sin⁡2x⋅sin⁡xdx=−∫sin⁡(s)⋅(1−s2) dsWe use integration by parts with u=(1−s2), dv=sin⁡s ds; du=−2s ds, and v=−cos⁡s.=−[−(1−s2)cos⁡s−∫2scos⁡s ds]=(1−s2)cos⁡s+∫2scos⁡s dsWe integrate by parts again, with u=2s, dv=cos⁡s ds; du=2 ds, and v=sin⁡s.=(1−s2)cos⁡s+2ssin⁡s−∫2sin⁡s ds=(1−s2)cos⁡s+2ssin⁡s+2cos⁡s+C=sin⁡2x⋅cos⁡(cos⁡x)+2cos⁡x⋅sin⁡(cos⁡x)+2cos⁡(cos⁡x)+C=(sin⁡2x+2)cos⁡(cos⁡x)+2cos⁡x⋅sin⁡(cos⁡x)+C\begin{aligned} \int \sin(\cos x)\sin^3 x ~\mathrm{d}x&=\int \sin(\cos x) \cdot \sin^2 x \cdot \sin x \mathrm{d}x\\ &=-\int \sin(s)\cdot (1-s^2) ~\mathrm{d}s \\ \text{We use integration by parts with $u=(1-s^2)$, $\mathrm{d}v=\sin s ~\mathrm{d}s$; $\mathrm{d}u=-2s~\mathrm{d}s$, and $v = -\cos s$.} \\ &=-\left[-(1-s^2)\cos s - \int 2s\cos s~ \mathrm{d}s\right] \\&= (1-s^2)\cos s + \int 2s\cos s~ \mathrm{d}s \\ \text{We integrate by parts again, with $u=2s$, $\mathrm{d}v=\cos s ~\mathrm{d}s$; $\mathrm{d}u=2~\mathrm{d}s$, and $v=\sin s$.} \\ &=(1-s^2)\cos s + 2s\sin s - \int 2\sin s~\mathrm{d}s \\&=(1-s^2)\cos s + 2s\sin s +2\cos s +C \\&=\sin^2 x\cdot\cos (\cos x) + 2\cos x\cdot\sin (\cos x) +2\cos (\cos x) +C \\&=(\sin^2x+2)\cos (\cos x) + 2\cos x\cdot\sin (\cos x) +C \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 1.8절 · 29번우리말 번역

∫xsin⁡xcos⁡x dx\displaystyle\int x\sin x \cos x ~\mathrm{d}x 의 값을 구하세요.

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

다 풀었으면 정답 확인

피적분함수가 다항식과 삼각함수의 곱이므로 부분적분으로 풀릴 것이라고 짐작할 수 있다. 이를 수행하는 방법은 여러 가지가 있다.

  • 풀이 1: 부분을 고르기 전에 항등식 sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x\sin(2x) = 2\sin x \cos x 를 이용하자.

∫xsin⁡xcos⁡xdx=12∫xsin⁡(2x)dx이제 u=x, dv=sin⁡(2x)dx 로 놓으면 du=dx 이고 v=−12cos⁡(2x) 이다. 부분적분을 이용하면:=12[−x2cos⁡(2x)+12∫cos⁡(2x)dx]=−x4cos⁡(2x)+18sin⁡(2x)+C=−x4(1−2sin⁡2x)+14sin⁡xcos⁡x+C=−x4+x2sin⁡2x+14sin⁡xcos⁡x+C\begin{aligned} \int x\sin x \cos x \mathrm{d}x&=\frac{1}{2}\int x \sin(2x)\mathrm{d}x \\ \text{이제 $u= x$, $\mathrm{d}v=\sin(2x)\mathrm{d}x$ 로 놓으면 $\mathrm{d}u=\mathrm{d}x$ 이고 $v=-\frac{1}{2}\cos (2x) $ 이다. 부분적분을 이용하면:} \\ &=\frac{1}{2}\left[-\frac{x}{2}\cos (2x) +\frac{1}{2} \int \cos (2x) \mathrm{d}x\right]\\ &=-\frac{x}{4}\cos (2x) +\frac{1}{8}\sin (2x) +C\\ &=-\frac{x}{4}(1-2\sin^2x) +\frac{1}{4}\sin x\cos x +C\\ &=-\frac{x}{4} + \frac{x}{2}\sin^2x+\frac{1}{4}\sin x \cos x +C \end{aligned}

  • 풀이 2: u=xu=x 로 놓으면 du=dx\mathrm{d}u=\mathrm{d}x 이므로 부분적분에 알맞아 보인다. u=xu=x 이면 dv=sin⁡xcos⁡xdx\mathrm{d}v = \sin x \cos x \mathrm{d}x 이다. vv 를 구하기 위해 치환 u=sin⁡xu=\sin x, du=cos⁡xdx\mathrm{d}u=\cos x \mathrm{d}x 를 쓸 수 있다.

v=∫sin⁡xcos⁡xdx=∫udu=12u2+C=12sin⁡2x+C따라서 v=12sin⁡2x 로 잡는다. 이제 처음의 적분에 부분적분을 적용할 수 있다.∫xsin⁡xcos⁡x dx=x2sin⁡2x−∫12sin⁡2xdx항등식 sin⁡2x=1−cos⁡(2x)2 를 적용한다.=x2sin⁡2x−14∫1−cos⁡(2x)dx=x2sin⁡2x−x4+18sin⁡(2x)+C=x2sin⁡2x−x4+14sin⁡xcos⁡x+C\begin{aligned} v=\int \sin x \cos x \mathrm{d}x&=\int u \mathrm{d}u = \frac{1}{2}u^2+C = \frac{1}{2}\sin^2 x +C \\ \text{따라서 $v = \frac{1}{2}\sin^2 x$ 로 잡는다. 이제 처음의 적분에 부분적분을 적용할 수 있다.} \\ \int x\sin x \cos x ~\mathrm{d}x&=\frac{x}{2}\sin^2 x - \int \frac{1}{2}\sin^2 x \mathrm{d}x \\ \text{항등식 $\sin^2x = \dfrac{1-\cos(2x)}{2}$ 를 적용한다.} \\ &=\frac{x}{2}\sin^2 x - \frac{1}{4}\int 1-\cos(2 x) \mathrm{d}x\\ &=\frac{x}{2}\sin^2 x - \frac{x}{4} +\frac{1}{8}\sin(2 x)+C\\ &=\frac{x}{2}\sin^2 x - \frac{x}{4} +\frac{1}{4}\sin x \cos x+C \end{aligned}

  • 풀이 3: u=xsin⁡xu=x\sin x, dv=cos⁡xdx\mathrm{d}v=\cos x \mathrm{d}x 로 놓으면 du=(xcos⁡x+sin⁡x)dx\mathrm{d}u = (x\cos x + \sin x)\mathrm{d}x 이고 v=sin⁡xv = \sin x 이다.

∫xsin⁡xcos⁡xdx=xsin⁡2x−∫sin⁡x(xcos⁡x+sin⁡x)dx=xsin⁡2x−∫xsin⁡xcos⁡xdx−∫sin⁡2xdx두 번째 적분에 항등식 sin⁡2x=1−cos⁡(2x)2 를 적용한다.=xsin⁡2x−∫xsin⁡xcos⁡xdx−∫1−cos⁡(2x)2dx=xsin⁡2x−∫xsin⁡xcos⁡xdx−x2+14sin⁡(2x)+C따라서 다음 등식을 얻는다.∫xsin⁡xcos⁡xdx=xsin⁡2x−∫xsin⁡xcos⁡xdx−x2+14sin⁡(2x)+C2∫xsin⁡xcos⁡xdx=xsin⁡2x−x2+14sin⁡(2x)+C∫xsin⁡xcos⁡xdx=x2sin⁡2x−x4+18sin⁡(2x)+C2=x2sin⁡2x−x4+14sin⁡xcos⁡x+C2\begin{aligned} \int x\sin x \cos x \mathrm{d}x&=x\sin^2 x - \int \sin x(x\cos x + \sin x)\mathrm{d}x\\ &=x\sin^2 x - \int x \sin x \cos x\mathrm{d}x - \int \sin^2 x\mathrm{d}x \\ \text{두 번째 적분에 항등식 $\sin^2 x = \dfrac{1-\cos(2x)}{2}$ 를 적용한다.} \\ &=x\sin^2 x - \int x \sin x \cos x\mathrm{d}x - \int \dfrac{1-\cos(2x)}{2}\mathrm{d}x \\&=x\sin^2 x - \int x \sin x \cos x\mathrm{d}x - \frac{x}{2} +\frac{1}{4}\sin(2x)+C \\ \text{따라서 다음 등식을 얻는다.} \\ \int x\sin x \cos x \mathrm{d}x&=x\sin^2 x - \int x \sin x \cos x\mathrm{d}x - \frac{x}{2} + \frac{1}{4}\sin(2x)+C\\ 2\int x\sin x \cos x \mathrm{d}x&=x\sin^2 x - \frac{x}{2} + \frac{1}{4}\sin(2x)+C\\ \int x\sin x \cos x \mathrm{d}x&=\frac{x}{2}\sin^2 x - \frac{x}{4} + \frac{1}{8}\sin(2x)+\frac{C}{2}\\ &=\frac{x}{2}\sin^2 x - \frac{x}{4} + \frac{1}{4}\sin x\cos x+\frac{C}{2} \end{aligned}

CC 는 (−∞,∞)(-\infty,\infty) 의 어떤 값이든 가질 수 있는 임의의 상수이므로 C2\frac{C}{2} 도 (−∞,∞)(-\infty,\infty) 의 어떤 값이든 가질 수 있는 임의의 상수이다. 따라서 C2\frac{C}{2} 를 CC 로 바꾸어 써도 된다.

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# 삼각함수의 적분계산도전자동 분류
CLP-2 Integral Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)

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