빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 적분 기법

삼각치환

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-2 · 1.9절 · 10번대학 수준우리말 번역

∫dxx2x2+16\displaystyle\int\frac{\mathrm{d}x}{x^2\sqrt{x^2+16}} 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate ∫dxx2x2+16\displaystyle\int\frac{\mathrm{d}x}{x^2\sqrt{x^2+16}}.

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

정답·풀이 보기

x=4tan⁡ux=4\tan u, dx=4sec⁡2u du\mathrm{d}x=4 \sec^2u\,\mathrm{d}u 로 치환한다.

∫1x2x2+16 dx=∫116tan⁡2u16tan⁡2u+16 4sec⁡2u du=∫sec⁡2u16tan⁡2usec⁡u du=116∫sec⁡utan⁡2u du=116∫cos⁡usin⁡2u du\begin{aligned} \int\frac{1}{x^2\sqrt{x^2+16}}\,\mathrm{d}x &=\int \frac{1}{16\tan^2 u \sqrt{16\tan^2 u+16}}\,4\sec^2 u\,\mathrm{d}u \\[0.1in] &=\int \frac{\sec^2u}{16\tan^2u\sec u}\,\mathrm{d}u =\frac{1}{16}\int \frac{\sec u}{\tan^2u}\,\mathrm{d}u \\[0.1in] &= \frac{1}{16}\int\frac{\cos u}{\sin^2 u}\,\mathrm{d}u \end{aligned}

적분을 마무리하기 위해 v=sin⁡uv=\sin u, dv=cos⁡u du\mathrm{d}v=\cos u\,\mathrm{d}u 로 치환한다.

∫1x2x2+16 dx=116∫cos⁡usin⁡2u du=116∫dvv2=−116v+C=−116sin⁡u+C=−116x2+16x+C![그림](clp/tikz/6f5ffe535f.png)\begin{aligned} \int\frac{1}{x^2\sqrt{x^2+16}}\,\mathrm{d}x &=\frac{1}{16} \int\frac{\cos u}{\sin^2 u}\,\mathrm{d}u = \frac{1}{16}\int\frac{\mathrm{d}v}{v^2} =-\frac{1}{16v} +C \\ &=-\frac{1}{16\sin u} +C =-\frac{1}{16}\dfrac{\sqrt{x^2+16}}{x}+C \smash{ ![그림](clp/tikz/6f5ffe535f.png) } \end{aligned}

sin⁡u\sin u 를 구하기 위해 각 uu 를 갖고 tan⁡u=x4\tan u = \frac{x}{4} 인 직각삼각형을 그린다. 각 uu 의 반대쪽 변의 길이를 xx, 인접한 변의 길이를 44 로 놓으면, 피타고라스 정리에 의해 빗변의 길이는 x2+16\sqrt{x^2+16} 이다. 따라서 sin⁡u=x2+16x\sin u = \dfrac{\sqrt{x^2+16}}{x} 이다.

확인을 위해 답의 도함수를 살펴보면

ddx(−116x2+16x+C)=116x2+16x2−116xxx2+16=116(x2+16)−x2x2x2+16=1x2x2+16\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(-\frac{1}{16}\frac{\sqrt{x^2+16}}{x}+C\right) &=\frac{1}{16}\frac{\sqrt{x^2+16}}{x^2} -\frac{1}{16}\frac{x}{x\sqrt{x^2+16}} =\frac{1}{16}\frac{(x^2+16)-x^2}{x^2\sqrt{x^2+16}} \\ &=\frac{1}{x^2\sqrt{x^2+16}} \end{aligned}

이고, 이는 정확히 피적분함수와 같다.

원본 교재 풀이(영어)

Substitute x=4tan⁡ux=4\tan u, dx=4sec⁡2u du\mathrm{d}x=4 \sec^2u\,\mathrm{d}u.

∫1x2x2+16 dx=∫116tan⁡2u16tan⁡2u+16 4sec⁡2u du=∫sec⁡2u16tan⁡2usec⁡u du=116∫sec⁡utan⁡2u du=116∫cos⁡usin⁡2u du\begin{aligned} \int\frac{1}{x^2\sqrt{x^2+16}}\,\mathrm{d}x &=\int \frac{1}{16\tan^2 u \sqrt{16\tan^2 u+16}}\,4\sec^2 u\,\mathrm{d}u \\[0.1in] &=\int \frac{\sec^2u}{16\tan^2u\sec u}\,\mathrm{d}u =\frac{1}{16}\int \frac{\sec u}{\tan^2u}\,\mathrm{d}u \\[0.1in] &= \frac{1}{16}\int\frac{\cos u}{\sin^2 u}\,\mathrm{d}u \end{aligned}

To finish off the integral, we'll substitute v=sin⁡uv=\sin u, dv=cos⁡u du\mathrm{d}v=\cos u\,\mathrm{d}u.

∫1x2x2+16 dx=116∫cos⁡usin⁡2u du=116∫dvv2=−116v+C=−116sin⁡u+C=−116x2+16x+C![figure](clp/tikz/6f5ffe535f.png)\begin{aligned} \int\frac{1}{x^2\sqrt{x^2+16}}\,\mathrm{d}x &=\frac{1}{16} \int\frac{\cos u}{\sin^2 u}\,\mathrm{d}u = \frac{1}{16}\int\frac{\mathrm{d}v}{v^2} =-\frac{1}{16v} +C \\ &=-\frac{1}{16\sin u} +C =-\frac{1}{16}\dfrac{\sqrt{x^2+16}}{x}+C \smash{ ![figure](clp/tikz/6f5ffe535f.png) } \end{aligned}

To find sin⁡u\sin u, we draw a right triangle with angle uu and tan⁡u=x4\tan u = \frac{x}{4}. We label the opposite side xx and the adjacent side 44, and then from Pythagoras we find that the hypotenuse has length x2+16\sqrt{x^2+16}. So, sin⁡u=x2+16x\sin u = \dfrac{\sqrt{x^2+16}}{x}.

As a check, we observe that the derivative of the answer

ddx(−116x2+16x+C)=116x2+16x2−116xxx2+16=116(x2+16)−x2x2x2+16=1x2x2+16\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(-\frac{1}{16}\frac{\sqrt{x^2+16}}{x}+C\right) &=\frac{1}{16}\frac{\sqrt{x^2+16}}{x^2} -\frac{1}{16}\frac{x}{x\sqrt{x^2+16}} =\frac{1}{16}\frac{(x^2+16)-x^2}{x^2\sqrt{x^2+16}} \\ &=\frac{1}{x^2\sqrt{x^2+16}} \end{aligned}

is exactly the integrand.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 1.9절 · 11번우리말 번역

x≥3x\ge 3 일 때 ∫dxx2x2−9\displaystyle\int \frac{\mathrm{d}x}{x^2\sqrt{x^2-9}} 의 값을 구하세요. 답에 역삼각함수를 포함하지 마세요.

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

다 풀었으면 정답 확인

0≤u<π20\le u<\frac{\pi}{2} 에서 x=3sec⁡ux=3\sec u 로 치환한다. 그러면 dx=3sec⁡utan⁡u du\mathrm{d}x= 3\sec u\tan u\,\mathrm{d}u 이고 x2−9=9sec⁡2u−9=9tan⁡2u=3tan⁡u\sqrt{x^2-9}=\sqrt{9\sec^2 u-9} =\sqrt{ 9\tan^2 u}=3\tan u 이므로

∫dxx2x2−9=∫3sec⁡utan⁡u du9sec⁡2u9tan⁡2u=19∫dusec⁡u=19∫cos⁡u du=19sin⁡u+C.![그림](clp/tikz/c7acbbd75e.png) sin⁡u 의 값을 구하기 위해 각 u 를 갖는 직각삼각형을 그린다. sec⁡u=x3=빗변밑변 이므로 빗변을 x, 밑변을 3 이라 표시한다. 피타고라스 정리를 이용하면 높이의 길이는 x2−9 이다. 따라서 sin⁡u=x2−9x 이고∫dxx2x2−9=x2−99x+C.\begin{aligned} \int \frac{\mathrm{d}x}{x^2\sqrt{x^2-9}} &=\int \frac{3\sec u\tan u\ \mathrm{d}u} {9\sec^2u\sqrt{9\tan^2u}} \\ &=\frac{1}{9}\int\frac{\mathrm{d}u}{\sec u} \\ &=\frac{1}{9}\int \cos u\ \mathrm{d}u =\frac{1}{9}\sin u +C.\qquad \smash{ ![그림](clp/tikz/c7acbbd75e.png) } \\ \text{ $\sin u$ 의 값을 구하기 위해 각 $u$ 를 갖는 직각삼각형을 그린다. $\sec u = \dfrac{x}{3} = \dfrac{\text{빗변}}{\text{밑변}}$ 이므로 빗변을 $x$, 밑변을 $3$ 이라 표시한다. 피타고라스 정리를 이용하면 높이의 길이는 $\sqrt{x^2-9}$ 이다. 따라서 $\sin u = \dfrac{\sqrt{x^2-9}}x$ 이고} \\ \int \frac{\mathrm{d}x}{x^2\sqrt{x^2-9}} &= \frac{\sqrt{x^2-9}}{9x} +C. \end{aligned}

검산으로, 답을 미분하면

ddx(x2−99x+C)=−x2−99x2+x9xx2−9=19 −(x2−9)+x2x2x2−9=1x2x2−9\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left( \frac{\sqrt{x^2-9}}{9x}+C\right) &=-\frac{\sqrt{x^2-9}}{9x^2} + \frac{x}{9x\sqrt{x^2-9}} =\frac{1}{9}\ \frac{-(x^2-9)+x^2}{x^2\sqrt{x^2-9}} \\ &=\frac{1}{x^2\sqrt{x^2-9}} \end{aligned}

이 되어 피적분함수와 정확히 같다. (x≤−3x\le -3 인 경우에도 이것이 성립함을 덧붙인다.)

이 문제로 이어서 풀기
# 삼각치환계산보통자동 분류
CLP-2 Integral Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)

「삼각치환」 문제 목록으로