삼각치환

(a) $\sin\theta=\dfrac{1}{20}$ 이고 $\theta$ 가 0과 $\pi/2$ 사이에 있으면, 각 $\theta$ 를 가지고 반대쪽 변의 길이가 1, 빗변의 길이가 20인 직각삼각형을 그릴 수 있다. 피타고라스 정리에 의해 밑변의 길이는 $\sqrt{20^2-1^2}=\sqrt{399}$ 이다. 따라서 $\cos\theta = \dfrac{\mathrm{adj}}{\mathrm{hyp}}=\dfrac{\sqrt{399}}{20}$ 이다.

여기서 간단히 “타당성” 검사를 해 볼 수 있다. $\frac{1}{20}$ 은 0에 꽤 가까우므로 $\theta$ 도 0에 꽤 가까울 것이고, 따라서 $\cos \theta$ 는 1에 꽤 가까워야 한다. 실제로 그렇다. $\dfrac{\sqrt{399}}{20}\approx \dfrac{\sqrt{400}}{20}=\dfrac{20}{20}=1$ 이다.

다른 방법으로, 항등식을 이용하여 이 문제를 풀 수도 있다.

$$\begin{aligned} \sin^2 \theta + \cos^2 \theta &=1\\ \left(\frac{1}{20}\right)^2+ \cos^2 \theta &=1\\ \cos\theta &= \pm\sqrt{1-\frac{1}{400}}=\pm\frac{\sqrt{399}}{20} \\ \text{Since $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$, $\cos\theta \geq 0$, so} \\ \cos\theta &= \frac{\sqrt{399}}{20} \end{aligned}$$ (b) $\tan\theta=7$ 이고 $\theta$ 가 0과 $\pi/2$ 사이에 있으면, 각 $\theta$ 를 가지고 반대쪽 변의 길이가 7, 밑변의 길이가 1인 직각삼각형을 그릴 수 있다. 피타고라스 정리에 의해 빗변의 길이는 $\sqrt{7^2+1^2} = \sqrt{50}=5\sqrt{2}$ 이다. 따라서 $\csc\theta = \dfrac{\mathrm{hyp}}{\mathrm{opp}}=\dfrac{5\sqrt{2}}{7}$ 이다.

이번에도 간단히 타당성을 검사해 볼 수 있다. 7은 1보다 훨씬 크므로, 우리가 생각하는 삼각형은 위의 표준적인 그림의 삼각형과는 별로 닮지 않았다. 밑변이 짧고 높이가 꽤 높은 삼각형이다. 따라서 반대쪽 변과 빗변의 길이는 꽤 비슷하다. 실제로 $\dfrac{5\sqrt{2}}{7}\approx 7.071$ 이므로 이 크기는 타당해 보인다. (c) $\sec\theta=\dfrac{\sqrt{x-1}}{2}$ 이고 $\theta$ 가 0과 $\pi/2$ 사이에 있으면, 각 $\theta$ 를 가지고 빗변의 길이가 $\sqrt{x-1}$, 밑변의 길이가 2인 직각삼각형을 그릴 수 있다. 피타고라스 정리에 의해 반대쪽 변의 길이는 $\sqrt{\sqrt{x-1}^2 - 2^2} = \sqrt{x-1-4}=\sqrt{x-5}$ 이다. 따라서 $\tan\theta = \dfrac{\mathrm{opp}}{\mathrm{adj}}=\dfrac{\sqrt{x-5}}{2}$ 이다.

항등식을 이용하여 이 문제를 풀 수도 있다. $\sec\theta$ 가 존재하므로 $\theta \neq \frac{\pi}{2}$ 임에 주의한다.

$$\begin{aligned} \tan^2\theta+1&=\sec^2\theta\\ \tan^2\theta+1&=\left(\frac{\sqrt{x-1}}{2}\right)^2=\frac{x-1}{4}\\ \tan\theta &= \pm\sqrt{\frac{x-1}{4}-1} = \pm\frac{\sqrt{x-5}}{2} \\ \text{Since $0 \leq \theta < \frac{\pi}{2}$, $\tan\theta \geq 0$, so} \\ \tan\theta &= \frac{\sqrt{x-5}}{2} \end{aligned}$$