삼각치환 연습문제 — CLP-2 · 1.9절 · 15번

CLP-2 · 1.9절 · 15번대학 수준우리말 번역

$x>\frac{2}{5}$ 일 때, $\displaystyle\int \frac{\sqrt{25x^2-4}}{x}\,\mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle\int \frac{\sqrt{25x^2-4}}{x}\,\mathrm{d}x$ for $x>\frac{2}{5}$ .

정답·풀이 보기

$x=\frac{2}{5}\sec u$ ( $0< u<\frac{\pi}{2}$ )로 치환하면 $\mathrm{d}x=\frac{2}{5} \sec u\,\tan u\,\mathrm{d}u$ 이고 $\sqrt{25 x^2-4} = \sqrt{4(\sec^2u-1)} = \sqrt{4\tan^2u}=2\tan u$ 이다. 그러므로

$\begin{aligned} \int \frac{\sqrt{25x^2-4}}{x}\,\mathrm{d}x &=\int \frac{2\tan u}{\frac{2}{5}\sec u}\cdot\frac{2}{5}\sec u\tan u\,\mathrm{d}u \\ &=2\int \tan^2 u\,\mathrm{d}u =2\int \big(\sec^2 u -1\big)\,\mathrm{d}u \\ &= 2\tan u -2u + C \\ &=\sqrt{25x^2-4}-2\mathop{\mathrm{arcsec}}\tfrac{5x}{2} + C \smash{ ![그림](clp/tikz/1d70479a66.png) } \end{aligned}$

$\tan u$ 를 구하기 위해 각 $u$ 를 갖는 직각삼각형을 그린다. $\sec u =\dfrac{5x}{2}$ 이므로 빗변을 $5x$ , 밑변을 2로 놓는다. 그러면 피타고라스 정리에 의해 높이는 $\sqrt{25x^2-4}$ 이다. 따라서 $\tan u = \dfrac{\text{높이}}{\text{밑변}} = \dfrac{\sqrt{25x^2-4}}{2}$ 이다.

다른 방법으로, 위 풀이에서 이미 $2\tan u = \sqrt{25x^2-4}$ 임을 보였으므로 $\tan u = \frac{1}{2}\sqrt{25x^2-4}$ 임을 알 수 있다.

검산으로, 답의 도함수를 구하면

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left(\sqrt{25x^2-4}-2\mathop{\mathrm{arcsec}}\frac{5x}{2} + C\right) &=\frac{25 x}{\sqrt{25x^2-4}} - 2 \frac{\frac{5}{2}}{\left|\frac{5x}{2}\right|\sqrt{\frac{25x^2}{4}-1}} \\ &= \frac{25 x}{\sqrt{25x^2-4}} - \frac{4}{x\sqrt{25x^2-4}}\qquad\text{$x>0$ 이므로} \\ &= \frac{25 x^2-4}{x\sqrt{25x^2-4}} \\ &= \frac{\sqrt{25 x^2-4}}{x} \end{aligned}$

이고, 이는 피적분함수와 정확히 같다 ( $x>\frac{2}{5}$ 일 때).

원본 교재 풀이(영어)

Substitute $x=\frac{2}{5}\sec u$ with $0< u<\frac{\pi}{2}$ , so that $\mathrm{d}x=\frac{2}{5} \sec u\,\tan u\,\mathrm{d}u$ and $\sqrt{25 x^2-4} = \sqrt{4(\sec^2u-1)} = \sqrt{4\tan^2u}=2\tan u$ . Then

To find $\tan u$ , we draw a right triangle with angle $u$ . Since $\sec u =\dfrac{5x}{2}$ , we label the hypotenuse $5x$ and the adjacent side 2. Then the Pythagorean Theorem gives us the opposite side as length $\sqrt{25x^2-4}$ . Then $\tan u = \dfrac{\text{opp}}{\text{adj}} = \dfrac{\sqrt{25x^2-4}}{2}$ .

Alternately, we can notice that in our work, we already showed $2\tan u = \sqrt{25x^2-4}$ , so $\tan u = \frac{1}{2}\sqrt{25x^2-4} .$

As a check, we observe that the derivative of the answer

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left(\sqrt{25x^2-4}-2\mathop{\mathrm{arcsec}}\frac{5x}{2} + C\right) &=\frac{25 x}{\sqrt{25x^2-4}} - 2 \frac{\frac{5}{2}}{\left|\frac{5x}{2}\right|\sqrt{\frac{25x^2}{4}-1}} \\ &= \frac{25 x}{\sqrt{25x^2-4}} - \frac{4}{x\sqrt{25x^2-4}}\qquad\text{since $x>0$} \\ &= \frac{25 x^2-4}{x\sqrt{25x^2-4}} \\ &= \frac{\sqrt{25 x^2-4}}{x} \end{aligned}$

is exactly the integrand (provided $x>\frac{2}{5}$ ).

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 1.9절 · 1번우리말 번역

다음 각 적분에 대해, 적분의 값을 구하는 데 가장 유리한 치환을 고르세요.

(a) $\displaystyle \int \frac{2x^2}{\sqrt{9x^2-16}} \, \mathrm{d}x$ (b) $\displaystyle \int \frac{x^4-3}{\sqrt{1-4x^2}} \, \mathrm{d}x$ (c) $\displaystyle \int {(25+x^2)}^{-5/2} \, \mathrm{d}x$

다 풀었으면 정답 확인

교재에는 알맞은 치환을 고르는 방법을 정리한 표가 있지만, 이 문제에서는 치환을 고르는 논리를 설명한다.

사용할 수 있는 삼각함수 항등식은 다음과 같다.

$\begin{aligned} &1-\sin^2\theta=\cos^2\theta & &\tan^2 \theta +1 = \sec^2 \theta & &\sec^2 \theta - 1 =\tan^2 \theta \\ \text{각각 다음과 같은 꼴이다:} \\ &\text{상수 } - \text{ 함수} &&\text{함수 } + \text{ 상수} & &\text{함수 } - \text{ 상수} \end{aligned}$

제곱근을 없애려면, 제곱근 안의 식과 같은 꼴의 삼각함수 항등식이 나오도록 치환을 선택해야 한다.

(a) 이 문제에는 삼각함수를 쓰지 않는 뚜렷한 치환이 없으므로, 분모의 제곱근을 없애기 위해 삼각치환을 사용한다. 제곱근 안은 함수 $9x^2-16$ 이고, 이는 (함수) $-$ (상수) 꼴이다. 이 꼴은 삼각함수 항등식 $\sec^2 \theta - 1 = \tan^2 \theta$ 와 맞는다. $x$ 는 필요한 대로 정할 수 있지만, 상수 16 은 같은 방식으로 조절할 수 없다. 그래서 치환이 성립하도록 항등식을 다른 꼴로 바꾸어 양변에 16 을 곱하면 다음과 같다.

$\begin{aligned} ~16\sec^2\theta - 16 &= 16\tan^2\theta \\ \text{우리가 원하는 것은 다음이 되게 하는 치환이다.} \\ 9x^2-16&=16\sec^2\theta - 16\\ \text{따라서,}\qquad 9x^2&=16\sec^2\theta\\ x &= \frac{4}{3}\sec\theta \\ \text{이 치환을 사용하면,} \\ \sqrt{9x^2-16}&=\sqrt{16\sec^2\theta-16}\\ &=\sqrt{16\tan^2\theta}\\ &=4|\tan\theta| \end{aligned}$

따라서 제곱근이 없어졌다.

(b) 이 문제에는 삼각함수를 쓰지 않는 뚜렷한 치환이 없으므로, 분모의 제곱근을 없애기 위해 삼각치환을 사용한다. 제곱근 안은 함수 $1-4x^2$ 이고, 이는 (상수) $-$ (함수) 꼴이다. 이 꼴은 삼각함수 항등식 $1-\sin^2\theta = \cos^2\theta$ 와 맞는다. 우리가 원하는 것은 다음이 되게 하는 치환이다.

$\begin{aligned} 1-4x^2&=1-\sin^2\theta\\ \text{따라서,}\qquad 4x^2&=\sin^2\theta\\ x &= \frac{1}{2}\sin\theta \\ \text{이 치환을 사용하면,} \\ \sqrt{1-4x^2}&=\sqrt{1-\sin^2\theta}\\ &=\sqrt{\cos^2\theta}\\ &=|\cos\theta| \end{aligned}$

따라서 제곱근이 없어졌다. $|\cos\theta|$ 에서 절댓값 기호는 필요하지 않은데, $-\frac{1}{2}\le x\le\frac{1}{2}$ 일 때 $\theta=\arcsin(2x)$ 는 $-\frac{\pi}{2}$ 와 $\frac{\pi}{2}$ 사이의 값이고, 그러한 $\theta$ 에 대해 $\cos(\theta)\ge 0$ 이기 때문이다.

(c) 이 문제에는 삼각함수를 쓰지 않는 뚜렷한 치환이 없으므로, 분수 거듭제곱을 없애기 위해 삼각치환을 사용한다. (즉, 제곱근을 없애려는 것이다.) 거듭제곱의 밑은 함수 $25+x^2$ 이고, 이는 (상수) $+$ (함수) 꼴이다. 이 꼴은 삼각함수 항등식 $\tan^2 \theta + 1 = \sec^2 \theta$ 와 맞는다. $x$ 는 필요한 대로 정할 수 있지만, 상수 25 는 같은 방식으로 조절할 수 없다. 그래서 치환이 성립하도록 항등식을 다른 꼴로 바꾸어 양변에 25 를 곱하면 다음과 같다.

$\begin{aligned} 25\tan^2 \theta + 25 &= 25\sec^2 \theta \\ \text{우리가 원하는 것은 다음이 되게 하는 치환이다.} \\ 25+x^2&=25\tan^2\theta+25\\ \text{따라서,}\qquad x^2&=25\tan^2\theta\\ x &= 5\tan\theta \\ \text{이 치환을 사용하면,} \\ (25+x^2)^{-5/2}&=(25+25\tan^2\theta)^{-5/2}\\ &=(25\sec^2\theta)^{-5/2}\\ &=(5|\sec\theta|)^{-5} \end{aligned}$

따라서 제곱근이 없어졌다. $|\sec\theta|$ 에서 절댓값 기호는 필요하지 않은데, $-\infty< x<\infty$ 일 때 $\theta=\arctan(x/5)$ 는 $-\frac{\pi}{2}$ 와 $\frac{\pi}{2}$ 사이의 값이고, 그러한 $\theta$ 에 대해 $\sec(\theta)\ge 0$ 이기 때문이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 삼각치환계산보통자동 분류