비교 판정법 연습문제 — CLP-2 · 3.3절 · 16번

CLP-2 · 3.3절 · 16번대학 수준우리말 번역

급수 $\displaystyle \sum_{n=2}^\infty \frac{n^2}{3n^2+\sqrt n}$ 은 수렴하나요?

영어 원문 보기

Does the series $\displaystyle \sum_{n=2}^\infty \frac{n^2}{3n^2+\sqrt n}$ converge?

정답·풀이 보기

먼저 발산 판정법을 확인한다. 이 판정법이 늘 통하는 것은 아니지만, 통한다면 대개 가장 쉬운 방법이다.

$\begin{aligned} \lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{3n^2+\sqrt n} \left(\frac{\frac{1}{n^2}}{\frac{1}{n^2}}\right) = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{3+\frac{1}{n\sqrt n}} = \frac{1}{3} \neq 0 \end{aligned}$

더해지는 항들의 극한이 0이 아니므로, 발산 판정법에 의해 이 급수는 발산한다.

원본 교재 풀이(영어)

First, we'll check the divergence test. It doesn't always work, but if it does, it's likely the easiest path.

$\begin{aligned} \lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{3n^2+\sqrt n} \left(\frac{\frac{1}{n^2}}{\frac{1}{n^2}}\right) = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{3+\frac{1}{n\sqrt n}} = \frac{1}{3} \neq 0 \end{aligned}$

Since the limit of the terms being added is not zero, the series diverges by the divergence test.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 3.3절 · 36번우리말 번역

다음 각 급수가 수렴하는지 발산하는지 판단하세요.

(a) $\displaystyle\sum_{n=2}^\infty\frac{n^2+n+1}{n^5-n}$ (b) $\displaystyle\sum_{m=1}^\infty\frac{3m+\sin\sqrt{m}}{m^2}$

다 풀었으면 정답 확인

(a) $n$ 이 충분히 크면 $n^2\gg n+1$ 이므로 분자 $n^2+n+1\approx n^2$ 이다. $n$ 이 충분히 크면 $n^5\gg n$ 이므로 분모 $n^5-n\approx n^5$ 이다. 따라서 $n$ 이 충분히 크면 $\frac{n^2+n+1}{n^5-n}\approx \frac{n^2}{n^5} =\frac{1}{n^3}$ 이다. 이는 $a_n=\frac{n^2+n+1}{n^5-n}$ , $b_n=\frac{1}{n^3}$ 으로 극한비교판정법을 적용해 볼 수 있음을 시사한다. 다음에서

$\begin{aligned} \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{a_n}{b_n} &=\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{(n^2+n+1)/(n^5-n)}{1/n^3} =\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{n^5+n^4+n^3}{n^5-n} =\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{1+1/n+1/n^2}{1-1/n^4} \\ &=1 \end{aligned}$

극한이 존재하고 0이 아니며, $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n^3}$ 은 ( $p=3>1$ 인 $p$ -급수 판정법에 의해) 수렴하므로 주어진 급수는 수렴한다.

(b) $m$ 이 충분히 크면 $3m\gg |\sin\sqrt{m}|$ 이므로 $\frac{3m+\sin\sqrt{m}}{m^2}\approx \frac{3m}{m^2} =\frac{3}{m}$ 이다. 이는 $a_m=\frac{3m+\sin\sqrt{m}}{m^2}$ , $b_m=\frac{1}{m}$ 으로 극한비교판정법을 적용하라는 뜻이다. ( $b_m=\frac{3}{m}$ 을 써도 된다.) 다음에서

$\begin{aligned} \lim_{m\rightarrow\infty} \frac{a_m}{b_m} &=\lim_{m\rightarrow\infty} \frac{(3m+\sin\sqrt{m})/m^2}{1/m} =\lim_{m\rightarrow\infty} \frac{3m+\sin\sqrt{m}}{m} =\lim_{m\rightarrow\infty} 3+\frac{\sin\sqrt{m}}{m} \\ &=3 \end{aligned}$

극한이 존재하고 0이 아니며, $\sum\limits_{m=1}^\infty\frac{1}{m}$ 은 ( $p=1$ 인 $p$ -급수 판정법에 의해) 발산하므로 주어진 급수는 발산한다.

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