비교 판정법

(a)

• 풀이 1: 주어진 급수는

$$\begin{aligned} 1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{9}+\cdots =\sum_{n=1}^\infty a_n \text{ 여기서 $a_n=\frac{1}{2n-1}$} \end{aligned}$$

이다. 먼저 $n$ 이 매우 클 때 $a_n\approx \frac{1}{2n}$ 임에 주목하여 직관을 얻자. 급수 $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n}$ 은 $p=1$ 인 $p$-판정법에 의해 발산함을 안다. 그러므로 $b_n=\frac{1}{n}$ 로 놓고 극한비교판정법을 적용하자.

$$\begin{aligned} \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{b_n} =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{2n-1} =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{2-\frac{1}{n}} =\frac{1}{2} \end{aligned}$$

이므로, 급수 $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ 이 수렴하기 위한 필요충분조건은 급수 $\sum\limits_{n=1}^\infty b_n$ 이 수렴하는 것이다. 따라서 주어진 급수는 발산한다.

• 풀이 2: 급수

$$\begin{aligned} 1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{9}+\cdots &\ge \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{8}+\frac{1}{10}+\cdots \\ &=\frac{1}{2}\Big(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\cdots\Big) \end{aligned}$$

괄호 안의 급수는 조화급수이며, $p=1$ 인 $p$-판정법에 의해 발산함을 안다. 따라서 오른쪽 변의 급수는 발산한다. 직접 비교판정법에 의해 왼쪽 변의 급수도 발산한다.

(b) $a_n=\dfrac{(2n+1)}{2^{2n+1}}$ 로 놓고 비판정법을 사용하자.

$$\begin{aligned} \frac{a_{n+1}}{a_n} &=\frac{(2n+3)}{2^{2n+3}}\frac{2^{2n+1}}{(2n+1)} =\frac{1}{4}\frac{(2n+3)}{(2n+1)} =\frac{1}{4}\frac{(2+3/n)}{(2+1/n)} \rightarrow \frac{1}{4}<1\text{ (}n\rightarrow\infty\text{일 때)} \end{aligned}$$

이므로 급수는 수렴한다.