비교 판정법 연습문제 — CLP-2 · 3.3절 · 32번

CLP-2 · 3.3절 · 32번대학 수준우리말 번역

급수 $\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{ \sqrt[3]{k^4+1} } {\sqrt{k^5+9}}$ 가 수렴하는지 판단하세요.

영어 원문 보기

Determine whether the series $\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{ \sqrt[3]{k^4+1} } {\sqrt{k^5+9}}$ converges.

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먼저 직관을 얻어 본다. $k$ 가 매우 클 때, $k^4$ 이 $1$ 보다 훨씬 우세하므로 분자는 $\sqrt[3]{k^4+1} \approx \sqrt[3]{k^4} = k^{4/3}$ 이고, $k^5$ 이 9 보다 훨씬 우세하므로 분모는 $\sqrt{k^5+9} \approx \sqrt{k^5} = k^{5/2}$ 이다. 따라서 일반항은

$\begin{aligned} \frac{ \sqrt[3]{k^4+1} }{\sqrt{k^5+9}} \approx \frac{k^{4/3}}{k^{5/2}} =\frac{1}{k^{7/6}} \end{aligned}$

이다.

급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{k^{7/6}}$ 은 $p=\frac{7}{6}>1$ 이므로 $p$ -판정법에 의해 수렴한다. 따라서 주어진 급수도 수렴할 것으로 예상된다.

이 직관이 맞는지 확인하기 위해 극한비교판정법을 다음에 적용한다.

$\begin{aligned} a_k= \frac{ \sqrt[3]{k^4+1} }{\sqrt{k^5+9}} \quad\text{와}\quad b_k= \frac{1}{k^{7/6}}=\frac{k^{4/3}}{k^{5/2}} \end{aligned}$

이때

$\lim_{k\rightarrow\infty} \frac{a_k}{b_k} =\lim_{k\rightarrow\infty}\frac{ \sqrt[3]{k^4+1}/k^{4/3}} {\sqrt{k^5+9}/k^{5/2}} =\lim_{k\rightarrow\infty}\frac{ \sqrt[3]{1+1/k^4} }{\sqrt{1+9/k^5}} =1$

이 존재하므로 적용할 수 있다. 급수 $\sum\limits_{k=1}^\infty b_k$ 는 수렴하는 $p$ -급수( $p=\frac{7}{6}>1$ )이므로 주어진 급수는 수렴한다.

참고: 우리가 고른 비교 급수로 직접 비교판정법을 적용하려면, 충분히 큰 모든 $k$ 에 대해 $\frac{\sqrt[3]{k^4+1}}{\sqrt{k^5+9}} \leq \frac{1}{k^{7/6}}$ 임을 보여야 한다. 그러나 이는 성립하지 않는다. $k$ 가 클 때는 부등호 방향이 반대인 부등식이 성립한다.

원본 교재 풀이(영어)

We first develop some intuition. For very large $k$ , $k^4$ dominates $1$ so that the numerator $\sqrt[3]{k^4+1} \approx \sqrt[3]{k^4} = k^{4/3}$ , and $k^5$ dominates 9 so that the denominator $\sqrt{k^5+9} \approx \sqrt{k^5} = k^{5/2}$ and the summand

$\begin{aligned} \frac{ \sqrt[3]{k^4+1} }{\sqrt{k^5+9}} \approx \frac{k^{4/3}}{k^{5/2}} =\frac{1}{k^{7/6}} \end{aligned}$

The series $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{k^{7/6}}$ converges by the $p$ –test with $p=\frac{7}{6}>1$ , so we expect the given series to converge too.

To verify that our intuition is correct, we apply the limit comparison test with

$\begin{aligned} a_k= \frac{ \sqrt[3]{k^4+1} }{\sqrt{k^5+9}} \quad\text{and}\quad b_k= \frac{1}{k^{7/6}}=\frac{k^{4/3}}{k^{5/2}} \end{aligned}$

which is valid since

$\lim_{k\rightarrow\infty} \frac{a_k}{b_k} =\lim_{k\rightarrow\infty}\frac{ \sqrt[3]{k^4+1}/k^{4/3}} {\sqrt{k^5+9}/k^{5/2}} =\lim_{k\rightarrow\infty}\frac{ \sqrt[3]{1+1/k^4} }{\sqrt{1+9/k^5}} =1$

exists. Since the series $\sum\limits_{k=1}^\infty b_k$ is a convergent $p$ –series (with ratio $p=\frac{7}{6}>1$ ), the given series converges.

Note: to apply the direct comparison test with our chosen comparison series, we would need to show that $\frac{\sqrt[3]{k^4+1}}{\sqrt{k^5+9}} \leq \frac{1}{k^{7/6}}$ for all $k$ sufficiently large. However, this is not true: the opposite inequality holds when $k$ is large.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 3.3절 · 33번우리말 번역

$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{n^4 2^{n/3}}{(2n+7)^4}$ 은 수렴하는지 발산하는지 판단하세요.

다 풀었으면 정답 확인

풀이 1: 여기에 발산판정법이 통하는지 살펴보자. $\lim_{n\to\infty} \frac{n^4 2^{n/3}}{(2n+7)^4}\left(\frac{\frac{1}{n^4}}{\frac{1}{n^4}}\right) = \lim_{n\to\infty} \frac{2^{n/3}}{(2+7/n)^4} = \lim_{n\to\infty} \frac{2^{n/3}}{(2+0)^4} = \infty$ 이 급수의 각 항은 0으로 수렴하지 않는다. 발산판정법에 의해 이 급수는 발산한다.
풀이 2: 비교를 위한 직관을 먼저 얻어 보자. $n$ 이 매우 크면 $2n$ 이 $7$ 보다 훨씬 지배적이므로

$\begin{aligned} \frac{n^4 2^{n/3}}{(2n+7)^4} \approx \frac{n^4 2^{n/3}}{(2n)^4} =\frac{1}{16}2^{n/3} \end{aligned}$

이다.

급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} 2^{n/3}$ 은 비가 $r=2^{1/3}>1$ 인 등비급수이므로 발산한다. (이 급수 역시 발산판정법을 통과하지 못한다.) 따라서 주어진 급수도 발산할 것으로 예상된다.

이 직관이 맞는지 확인하기 위해

$\begin{aligned} a_n= \frac{n^4 2^{n/3}}{(2n+7)^4} \quad\text{그리고}\quad b_n= 2^{n/3} \end{aligned}$

에 대해 극한비교판정법을 적용한다. 이는

$\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{a_n}{b_n} =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n^4}{(2n+7)^4} =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{{(2+7/n)}^4} =\frac{1}{2^4}$

이 존재하고 $0$ 이 아니므로 적용할 수 있다. 급수 $\sum\limits_{n=1}^\infty b_n$ 은 (비가 $r=2^{1/3}>1$ 인) 발산하는 등비급수이므로, 주어진 급수는 발산한다.

(일반적인 비교판정법을 사용할 수도 있다. 이때는 $a_n = \frac{n^4 2^{n/3}}{(2n+7)^4} \ge \frac{n^4 2^{n/3}}{(2n+7n)^4} = \frac{1}{9^4}b_n$ 과 같은 부등식을 보이면 된다.)

풀이 3: 다른 방법으로, 비판정법을 적용할 수 있다.

$\begin{aligned} \lim_{n\to\infty} \bigg| \frac{a_{n+1}}{a_n} \bigg| &= \lim_{n\to\infty} \bigg| \frac{(n+1)^42^{(n+1)/3}/(2(n+1)+7)^4}{n^42^{n/3}/(2n+7)^4} \bigg| \\ &= \lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)^4(2n+7)^4}{n^4(2n+9)^4}\ \frac{2^{(n+1)/3}}{2^{n/3}} \\ &=\lim_{n\to\infty} \frac{(1+1/n)^4(2+7/n)^4}{(2+9/n)^4} \cdot2^{1/3} = 1\cdot2^{1/3} > 1. \end{aligned}$

이웃한 항의 비가 1보다 크므로, 비판정법에 의해 이 급수는 발산한다.

이 문제로 이어서 풀기

# 비교 판정법계산보통자동 분류