비교 판정법 연습문제 — CLP-2 · 3.3절 · 48번

CLP-2 · 3.3절 · 48번대학 수준우리말 번역

급수 $\displaystyle\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ 이 수렴하고 모든 $n$ 에 대해 $1>a_n\ge 0$ 이라 하자. 이때 급수 $\displaystyle\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{a_n}{1-a_n}$ 도 수렴함을 증명하세요.

영어 원문 보기

Suppose that the series $\displaystyle\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ converges and that $1>a_n\ge 0$ for all $n$ . Prove that the series $\displaystyle\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{a_n}{1-a_n}$ also converges.

정답·풀이 보기

증명의 방향을 잡기 위해 먼저 직관을 얻어 보자. $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ 이 수렴하므로 $n\rightarrow\infty$ 일 때 $a_n$ 은 0 으로 수렴한다. 따라서 $n$ 이 충분히 크면 $\frac{a_n}{1-a_n} \approx \frac{a_n}{1-0}=\frac{a_n}{1}$ 이고, $\sum a_n$ 이 수렴함을 알고 있다. 그러므로 "큰" 번호의 항들을 유한 개의 작은 번호의 항들과 분리하려고 한다.

$\lim\limits_{n\to \infty} a_n=0$ 이므로, 모든 $n>N$ 에 대해 $\tfrac{1}{2}>a_n\ge 0$ 이 되게 하는 (1보다 작은 양수라면 $\frac12$ 뿐 아니라 어떤 수를 택해도 된다.) 정수 $N$ 이 반드시 존재한다. 그러면 $n>N$ 일 때,

$\begin{aligned} \frac{a_n}{1-a_n} &\leq \frac{a_n}{1-1/2}=2a_n \\ \text{문제에 주어진 정보로부터 다음을 안다.} \\ \sum_{n=N+1}^\infty 2a_n&=2\sum_{n=N+1}^\infty a_n\qquad\text{은 수렴한다. } \\ \text{따라서 직접 비교 판정법에 의해} \\ \sum_{n=N+1}^\infty\frac{a_n}{1-a_n}&\qquad\text{도 수렴한다. } \\ \text{급수의 수렴 여부는 처음 $N$ 개의 항에 영향을 받지 않으므로(단, $N$ 이 유한할 때), 다음을 얻는다.} \\ \sum_{n=1}^\infty\frac{a_n}{1-a_n}&\qquad\text{은 수렴한다.} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

Let's get some intuition to guide us through a proof. Since $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ , converges $a_n$ must converge to zero as $n\rightarrow\infty$ . So, when $n$ is quite large, $\frac{a_n}{1-a_n} \approx \frac{a_n}{1-0}=\frac{a_n}{1}$ , and we know $\sum a_n$ converges. So, we want to separate the “large" indices from a finite number of smaller ones.

Since $\lim\limits_{n\to \infty} a_n=0$ , there must be (We could have chosen any positive number strictly less than 1, not only $\frac12$ .) some integer $N$ such that $\tfrac{1}{2}>a_n\ge 0$ for all $n>N$ . Then, for $n>N$ ,

$\begin{aligned} \frac{a_n}{1-a_n} &\leq \frac{a_n}{1-1/2}=2a_n \\ \text{From the information in the problem statement, we know} \\ \sum_{n=N+1}^\infty 2a_n&=2\sum_{n=N+1}^\infty a_n\qquad\text{converges. } \\ \text{So, by the direct comparison test,} \\ \sum_{n=N+1}^\infty\frac{a_n}{1-a_n}&\qquad\text{converges as well. } \\ \text{Since the convergence of a series is not affected by its first $N$ terms, as long as $N$ is finite, we conclude} \\ \sum_{n=1}^\infty\frac{a_n}{1-a_n}&\qquad\text{converges.} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 3.3절 · 47번우리말 번역

$\displaystyle\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{e^{-\sqrt{n}}}{\sqrt{n}}$ 이 수렴함을 보이고, 이 급수의 정확한 값을 포함하는 길이가 $0.05$ 이하인 구간을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

$\dfrac{e^{-\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}=\dfrac{1}{\sqrt{x}e^{\sqrt{x}}}$ 은 $x$ 가 증가할 때 감소한다. 따라서 모든 $n\ge 1$ 에 대해

$\begin{aligned} \frac{e^{-\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} &\geq \frac{e^{\sqrt{n}}}{\sqrt{n}}&\text{$x$가 구간 $[n-1,n]$ 에 있을 때}\\ \text{그러므로}\qquad \int_{n-1}^n \frac{e^{-\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\ \mathrm{d}x&\geq\int_{n-1}^n \frac{e^{-\sqrt{n}}}{\sqrt{n}}\ \mathrm{d}x\\ &=\left[\frac{e^{-\sqrt{n}}}{\sqrt{n}}x\right]_{x=n-1}^{x=n}\\ &=\frac{e^{-\sqrt{n}}}{\sqrt{n}} \end{aligned}$

이다. 그러면 모든 $N\ge 1$ 에 대해

$\begin{aligned} E_N&=\sum_{n=N+1}^\infty \frac{e^{-\sqrt{n}}}{\sqrt{n}} \le \sum_{n=N+1}^\infty \int_{n-1}^n \frac{e^{-\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\ \mathrm{d}x \\&=\int_{N}^{N+1}\frac{e^{-\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\ \mathrm{d}x +\int_{N+1}^{N+2} \frac{e^{-\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\ \mathrm{d}x+\cdots\\ &=\int_{N}^\infty \frac{e^{-\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\ \mathrm{d}x \end{aligned}$

이다. $y=\sqrt{x}$ , $\mathrm{d}y=\tfrac{1}{2}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x}}$ 로 치환하면

$\begin{aligned} \int_{N}^\infty \frac{e^{-\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\ \mathrm{d}x =2\int_{\sqrt{N}}^\infty e^{-y}\ \mathrm{d}y =-2e^{-y}\Big|_{\sqrt{N}}^\infty =2e^{-\sqrt{N}} \end{aligned}$

이다.

이로써 $\sum_{n=N+1}^\infty\frac{e^{-\sqrt{n}}}{\sqrt{n}}$ 은 수렴하고 그 값은 $0$ 과 $2e^{-\sqrt{N}}$ 사이에 있음을 알 수 있다. $E_{14}=2e^{-\sqrt{14}}=0.047$ 이므로 급수를 $n=14$ 까지만 더해도 된다.

$\begin{aligned} \sum_{n=1}^\infty\frac{e^{-\sqrt{n}}}{\sqrt{n}} &=\sum_{n=1}^{14}\frac{e^{-\sqrt{n}}}{\sqrt{n}}+E_{14}\\ &=\phantom{+}0.3679+0.1719+0.1021+0.0677+0.0478\\ &\phantom{=}+0.0352+0.0268+0.0209+0.0166+0.0134\\ &\phantom{=}+0.0109+0.0090+0.0075+0.0063+E_{14}\\ &=0.9042+E_{14} \end{aligned}$

합은 0.9035와 0.9535 사이에 있다. (이는 부분합을 계산할 때 각 항에서 생기는 $0.00005$ 의 반올림 오차까지 고려한 것이다.)

이 문제로 이어서 풀기

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