절대수렴과 조건수렴

(a)

• 풀이 1: 다음 급수가 수렴함을 보이면 된다. $\sum\limits_{n=1}^\infty 24n^2 e^{-n^3}$ 일반항에서 $n$ 을 $x$ 로 바꾸면 $f(x) = 24x^2 e^{-x^3}$ 이고, 이는 적분할 수 있다. ($u=x^3$ 으로 치환하면 된다.) 따라서 적분판정법을 써 보자. 먼저 $f(x)$ 가 양이고 감소함을 확인해야 한다. 양인 것은 분명하다. 감소하는지 판단하기 위해 계산하면

$$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x} = 48x e^{-x^3} - 24\times 3 x^4 e^{-x^3} = 24x (2-3x^3) e^{-x^3} \end{aligned}$$

이고, 이는 $x\ge1$ 에서 음수이다. 따라서 $f(x)$ 는 $x\ge1$ 에서 감소하므로 적분판정법을 적용할 수 있다. 치환 $u=x^3$, $\mathrm{d}u=3x^2\,\,\mathrm{d}x$ 를 쓰면

$$\begin{aligned} \int f(x) \,\mathrm{d}x = \int 24x^2 e^{-x^3} \,\mathrm{d}x = \int 8 e^{-u}\,\mathrm{d}u = -8e^{-u} + C = -8e^{-x^3} + C \end{aligned}$$

을 얻는다. 그러므로

$$\begin{aligned} \int_1^\infty f(x) \,\mathrm{d}x &= \lim_{R \to \infty} \int_1^R f(x) \,\mathrm{d}x = \lim_{R \to \infty} \bigg[ {-}8 e^{-x^3} \bigg]_1^R \\ &= \lim_{R \to \infty} ( - 8 e^{-R^3} + 8 e^{-1} ) = 8 e^{-1} \end{aligned}$$

이다. 적분이 수렴하므로 급수 $\sum\limits_{n=1}^\infty 24n^2 e^{-n^3}$ 은 수렴하고, 따라서 급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}24n^2 e^{-n^3}$ 은 절대수렴한다.

• 풀이 2: 다른 방법으로, $a_n=24n^2 e^{-n^3}$ 으로 놓고 비판정법을 쓸 수 있다. 계산하면

$$\begin{aligned} \lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| &= \lim_{n\to\infty} \left|\frac{24 (n+1)^2e^{-(n+1)^3}}{24 n^2e^{-n^3}} \right| \\ &= \lim_{n\to\infty} \left( \frac{(n+1)^2}{n^2} \frac{e^{n^3}}{e^{(n+1)^3}} \right) \\ &= \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^2 e^{-(3n^2+3n+1)} = 1\cdot0=0 < 1 \end{aligned}$$

이므로 급수는 절대수렴한다.

• 풀이 3: 또 다른 방법으로, 극한비교판정법을 쓸 수 있다. 먼저 직관을 조금 쌓아 보자. 우리는 $\sum\limits_{n=1}^\infty 24n^2 e^{-n^3}$ 이 수렴함을 보여야 한다는 것을 떠올리자. 이 급수의 $n$ 번째 항은

$$a_n = 24n^2 e^{-n^3} =\frac{24 n^2}{e^{n^3}}$$

이다. 이것은 분자와 분모가 모두 $n$ 에 따라 커지는 비이다. 지수함수는 거듭제곱보다 훨씬 빠르게 커진다는 것이 좋은 경험 법칙이다. 예를 들어 $n=10$ 이면 분자는 $2400=2.4\times 10^3$ 이고 분모는 약 $2\times 10^{434}$ 이다. 그래서 $n\rightarrow\infty$ 일 때 $a_n$ 이 0 으로 간다고 짐작할 수 있다. 문제는 “$a_n$ 이 $n$ 에 따라 우리 급수가 수렴할 만큼 충분히 빠르게 0 으로 가는가?”이다. 예를 들어 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$ 은 ($p=2$ 인 $p$ 판정법에 의해) 수렴한다는 것을 알고 있다. 그러므로 $a_n$ 이 $\frac{1}{n^2}$ 보다 더 빠르게 0 으로 가면 우리 급수는 수렴한다. 그러면 $a_n = 24n^2 e^{-n^3} =\frac{24 n^2}{e^{n^3}}$ 과 $b_n=\frac{1}{n^2}$ 으로 극한비교판정법을 써 보자.

$$\begin{aligned} \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{b_n} =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{24n^2 e^{-n^3}}{1/n^2} =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{24n^4 }{e^{n^3}} \end{aligned}$$

로피탈의 정리를 두 번 쓰면,

$$\begin{aligned} \lim_{x\rightarrow\infty} \frac{24x^4 }{e^{x^3}} &=\lim_{x\rightarrow\infty} \frac{4\times 24x^3 }{3 x^2e^{x^3}} &\text{로피탈의 정리에 의해} \\ &=\lim_{x\rightarrow\infty} \frac{32x }{e^{x^3}} &\text{식을 정리함} \\ &=\lim_{x\rightarrow\infty} \frac{32 }{3x^2e^{x^3}} &\text{로피탈의 정리를 다시 적용} \\ &=0 \end{aligned}$$

이다. 이제 극한비교판정법에 의해 $\sum_{n=1}^\infty a_n$ 은 수렴한다.

(b) (a)에서 $24n^2 e^{-n^3}$ 이 양이고 감소함을 보았다. 이 수열의 극한은 $0$ 이다. ((a)의 풀이 3의 끝에서 했던 것처럼 로피탈의 정리로 보일 수 있다.) 따라서 교대급수판정법을 쓸 수 있고, 무한합 $S= \sum\limits_{n=1}^\infty a_n = \sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} 24n^2 e^{-n^3}$ 을 처음 $N$ 개 항의 합 $S_N=\sum\limits_{n=1}^N a_n$ 으로 근사할 때 생기는 오차는 $0$ 과 처음으로 생략된 항 $a_{N+1}$ 사이에 있다. $5$ 개의 항을 쓰면 오차는 다음을 만족한다.

$$\begin{aligned} |S - S_5 | \le |a_6| = 24 \times 36 e^{-6^3}\approx 1.3 \times 10^{-91} \end{aligned}$$