테일러·매클로린 급수 연습문제 — CLP-2 · 3.6절 · 1번

CLP-2 · 3.6절 · 1번대학 수준우리말 번역

아래는 $y=f(x)$ 의 그래프와, $a=2$ 에서의 상수 근사, 선형 근사, 이차 근사를 함께 나타낸 것입니다. 각각 어느 것인지 구하세요.

영어 원문 보기

Below is a graph of $y=f(x)$ , along with the constant approximation, linear approximation, and quadratic approximation centred at $a=2$ . Which is which?

정답·풀이 보기

함수 $A$ , $B$ , $C$ 는 모두 $x=2$ 일 때 함수 $y=f(x)$ 와 만난다. $B$ 는 상수함수이므로 상수 근사이다. $A$ 는 접선이므로 $A$ 는 선형 근사이다. $C$ 는 접하는 포물선이므로 $C$ 는 이차 근사이다.

원본 교재 풀이(영어)

All functions $A$ , $B$ , and $C$ intersect the function $y=f(x)$ when $x=2$ . $B$ is a constant function, so this is the constant approximation. $A$ is the tangent line, so $A$ is the linear approximation. $C$ is a tangent parabola, so $C$ is the quadratic approximation.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 3.6절 · 39번우리말 번역

$a = 2$ 에서의 $f(x) = \log(x)$ 의 테일러 급수를 구하세요. 이 급수의 수렴 구간을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

다음을 이용한다.

$\log(1+y)= \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \frac{y^n}{n} \qquad \text{모든 } -1 < y \le 1$

여기에 $y=\dfrac{x-2}{2}$ 를 대입하면 다음을 얻는다.

$\begin{aligned} \log(x) & = \log(2 +x -2) =\log\left[2\left(1+\frac{x-2}{2}\right)\right]\\ &= \log 2 +\log\Big(1+\frac{x-2}{2}\Big) =\log 2 +\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n\,2^n}(x-2)^n \end{aligned}$

이 급수는 $-1<y\le 1$ , 즉 $0<x\le 4$ 일 때 수렴한다.

이 문제로 이어서 풀기

# 테일러·매클로린 급수그래프·표 해석기본자동 분류