테일러·매클로린 급수 연습문제 — CLP-2 · 3.6절 · 36번

CLP-2 · 3.6절 · 36번대학 수준우리말 번역

급수 $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{ (n+1)(n+2)}{7^n}$ 의 값을 구하거나 발산함을 보이세요.

영어 원문 보기

Evaluate the series $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{ (n+1)(n+2)}{7^n}$ or show that it diverges.

정답·풀이 보기

인수 $(n+1)(n+2)$ 는 도함수를 떠올리게 한다. 등비급수에서 시작한다.

$\begin{aligned} \frac{1}{1-x}&=\sum_{n=0}^\infty x^n\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\frac{1}{1-x} \right\}&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{ \sum_{n=0}^\infty x^n \right\}\\ \frac{1}{(1-x)^2}&=\sum_{n=0}^\infty nx^{n-1}=\sum_{n=1}^\infty nx^{n-1}\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\frac{1}{(1-x)^2} \right\}&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{ \sum_{n=1}^\infty nx^{n-1} \right\}\\ \frac{2}{(1-x)^3}&=\sum_{n=1}^\infty n(n-1)x^{n-2}=\sum_{n=2}^\infty n(n-1)x^{n-2}\\ &=\sum_{n=0}^\infty (n+2)(n+1)x^n \end{aligned}$

$x=\frac{1}{7}$ 이라 하자. 그러면 $|x|<1$ 이므로 주어진 급수는 수렴한다.

$\begin{aligned} \frac{2}{(1-1/7)^3} &=\sum_{n=0}^\infty (n+2)(n+1)\left(\frac{1}{7}\right)^n\\ \frac{2}{(6/7)^3} &=\sum_{n=0}^\infty \frac{(n+2)(n+1)}{7^n} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

The factor $(n+1)(n+2)$ reminds us of a derivative. Start with the geometric series.

Let $x=\frac{1}{7}$ . Then $|x|<1$ , so our series converges.

$\begin{aligned} \frac{2}{(1-1/7)^3} &=\sum_{n=0}^\infty (n+2)(n+1)\left(\frac{1}{7}\right)^n\\ \frac{2}{(6/7)^3} &=\sum_{n=0}^\infty \frac{(n+2)(n+1)}{7^n} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 3.6절 · 34번우리말 번역

자연로그에 대한 테일러 급수를 이용하여 $\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow 0}\left(1+x+x^2\right)^{2/x}$ 의 값을 구하세요.

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

이 극한은 $1^{\infty}$ 꼴의 부정형이다. 로피탈의 법칙을 쓸 때와 마찬가지로, 자연로그를 이용하여 다루기 쉬운 꼴로 바꿀 수 있다.

$\begin{aligned} f(x)&=\left(1+x+x^2\right)^{2/x}\\ \log(f(x))&=\log\left[\left(1+x+x^2\right)^{2/x}\right]=\frac{2}{x}\log\left(1+x+x^2\right) \end{aligned}$

$\log(1+y)=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}y^n}{n}$ 임을 떠올리고, $y=x+x^2$ 으로 놓는다. 이 급수는 $|y|<1$ 일 때 수렴하며, $x$ 가 0에 매우 가까운 값만 생각하므로 $|x+x^2|<1$ 이라고 가정할 수 있다.

$\begin{aligned} \log(f(x))&=\frac{2}{x}\log\left(1+(x+x^2)\right)=\frac{2}{x}\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}(x+x^2)^n}{n}\\ &=\frac{2}{x}\left[(x+x^2)-\frac{(x+x^2)^2}{2}+\frac{(x+x^2)^3}{3}-\cdots\right]\\ &=2+2x-\frac{(x+x^2)^2}{2x}+\frac{(x+x^2)^3}{3x}-\cdots\\ &=2+2x-\frac{(x^2+x)(1+x)}{2}+\frac{(x^2+x)^2(1+x)}{3}-\cdots\\ \lim_{x \to 0}\log(f(x))&=\lim_{x \to 0}\left[2+2x-\frac{(x^2+x)(1+x)}{2}+\frac{(x^2+x)^2(1+x)}{3}-\cdots\right] \\ &=2+0+0\cdots=2\\ \lim_{x \to 0} f(x)&=\lim_{x \to 0}e^{\log f(x)}=e^2 \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 테일러·매클로린 급수증명·논술도전자동 분류