테일러·매클로린 급수 연습문제 — CLP-2 · 3.6절 · 49번

CLP-2 · 3.6절 · 49번대학 수준우리말 번역

$\displaystyle \cosh(x) =\frac{e^x+e^{-x}}{2}$ 라 하자.

(a) $x_0 = 0$ 에서 $\cosh(x)$ 의 거듭제곱급수 전개를 구하고, 그 수렴 구간을 구하세요. (b) $3\frac{2}{3}\le \cosh(2) \le 3\frac{2}{3} + 0.1$ 임을 보이세요. (c) 모든 $t$ 에 대해 $\cosh(t) \le e^{\frac{1}{2}t^2}$ 임을 보이세요.

영어 원문 보기

Let $\displaystyle \cosh(x) =\frac{e^x+e^{-x}}{2}$ .

(a) Find the power series expansion of $\cosh(x)$ about $x_0 = 0$ and determine its interval of convergence. (b) Show that $3\frac{2}{3}\le \cosh(2) \le 3\frac{2}{3} + 0.1$ . (c) Show that $\cosh(t) \le e^{\frac{1}{2}t^2}$ for all $t$ .

정답·풀이 보기

(a) 모든 $x$ 에 대해 $e^x = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$ 임을 알고 있다. $x$ 를 $-x$ 로 바꾸면, 모든 $x$ 에 대해 $e^{-x} = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(-x)^n}{n!}$ 이고, 따라서

$\begin{aligned} \cosh(x) =\frac{1}{2}\big[e^x+e^{-x}\big] =\frac{1}{2}\Big[\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} + \sum_{n=0}^\infty \frac{(-x)^n}{n!}\Big] = \sum_{\genfrac{}{}{0pt}{}{n=0}{n\text{ even}}}^\infty\frac{x^n}{n!} = \sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n}}{(2n)!} \end{aligned}$

이 모든 $x$ 에 대해 성립한다. 특히 수렴 구간은 실수 전체이다.

(b) (a)의 거듭제곱급수 전개를 이용하면,

$\begin{aligned} \cosh(2) &= 1 +\frac{2^2}{2!}+\frac{2^4}{4!} +\sum_{n=3}^\infty\frac{2^{2n}}{(2n)!} = 3\frac{2}{3} +\sum_{n=3}^\infty\frac{2^{2n}}{(2n)!} \end{aligned}$

따라서 $\sum_{n=3}^\infty\frac{2^{2n}}{(2n)!}\le 0.1$ 임을 보이면 충분하다. $b_n = \frac{2^{2n}}{(2n)!}$ 이라 하자. $\sum_{n=3}^\infty\frac{2^{2n}}{(2n)!}$ 의 첫째 항은

$b_3 = \frac{2^6}{6!} = \frac{2^6}{6 \times 5 \times 4 \times 3\times 2} = \frac{4}{45}$

이다. $\sum_{n=3}^\infty\frac{2^{2n}}{(2n)!}$ 에서 이웃한 항 사이의 비는

$\begin{aligned} \frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{2^{2n+2}/2^{2n}}{(2n+2)!/(2n)!} =\frac{4}{(2n+2)(2n+1)} \le \frac{4}{8\times 7} =\frac{1}{14}\qquad \text{모든 }n\ge 3\text{ 에 대해} \end{aligned}$

이다. 그러므로

$\begin{aligned} \sum_{n=3}^\infty\frac{2^{2n}}{(2n)!} &\le \overbrace{\frac{4}{45}}^{b_3} + \overbrace{\frac{4}{45}\times \frac{1}{14}}^{b_4\le} + \overbrace{\frac{4}{45}\times \frac{1}{14^2}}^{b_5\le} + \overbrace{\frac{4}{45}\times \frac{1}{14^3}}^{b_6\le} + \cdots\\ &=\frac{4}{45}\,\frac{1}{1-\frac{1}{14}} =\frac{4}{45}\,\frac{14}{13} =\frac{56}{585}<\frac{1}{10} \end{aligned}$

이다.

(c)

$\cosh(t) = \sum_{n=0}^\infty\frac{t^{2n}}{(2n)!} = \sum_{n=0}^\infty\frac{{(t^2)}^n}{(2n)!} \qquad\text{그리고}\qquad e^{\frac{1}{2}t^2} = \sum_{n=0}^\infty\frac{{(\frac{1}{2}t^2)}^n}{n!} = \sum_{n=0}^\infty\frac{{(t^2)}^n}{2^n n!}$

을 비교하면, $(2n)! \ge 2^n n!$ 임을 보이면 충분하다. 이제 모든 $n\ge 1$ 에 대해,

$\begin{aligned} (2n)! &=\overbrace{1\times 2\times\cdots\times n}^{n\text{개의 인수}} \overbrace{(n+1)\times (n+2)\times\cdots\times 2n}^{n\text{개의 인수}} \\ &\ge\overbrace{1\times 2\times\cdots\times n}^{n\text{개의 인수}} \overbrace{2\times 2\times\cdots\times 2}^{n\text{개의 인수}} \\ &=2^n\, n! \end{aligned}$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) We know that $e^x = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$ for all $x$ . Replacing $x$ by $-x$ , we also have $e^{-x} = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(-x)^n}{n!}$ for all $x$ and hence

for all $x$ . In particular, the interval of convergence is all real numbers.

(b) Using the power series expansion of part (a),

$\begin{aligned} \cosh(2) &= 1 +\frac{2^2}{2!}+\frac{2^4}{4!} +\sum_{n=3}^\infty\frac{2^{2n}}{(2n)!} = 3\frac{2}{3} +\sum_{n=3}^\infty\frac{2^{2n}}{(2n)!} \end{aligned}$

So it suffices to show that $\sum_{n=3}^\infty\frac{2^{2n}}{(2n)!}\le 0.1$ . Let's write $b_n = \frac{2^{2n}}{(2n)!}$ . The first term in $\sum_{n=3}^\infty\frac{2^{2n}}{(2n)!}$ is

$b_3 = \frac{2^6}{6!} = \frac{2^6}{6 \times 5 \times 4 \times 3\times 2} = \frac{4}{45}$

The ratio between successive terms in $\sum_{n=3}^\infty\frac{2^{2n}}{(2n)!}$ is

$\begin{aligned} \frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{2^{2n+2}/2^{2n}}{(2n+2)!/(2n)!} =\frac{4}{(2n+2)(2n+1)} \le \frac{4}{8\times 7} =\frac{1}{14}\qquad \text{for all }n\ge 3 \end{aligned}$

Hence

$\cosh(t) = \sum_{n=0}^\infty\frac{t^{2n}}{(2n)!} = \sum_{n=0}^\infty\frac{{(t^2)}^n}{(2n)!} \qquad\text{and}\qquad e^{\frac{1}{2}t^2} = \sum_{n=0}^\infty\frac{{(\frac{1}{2}t^2)}^n}{n!} = \sum_{n=0}^\infty\frac{{(t^2)}^n}{2^n n!}$

we see that it suffices to show that $(2n)! \ge 2^n n!$ . Now. for all $n\ge 1$ ,

$\begin{aligned} (2n)! &=\overbrace{1\times 2\times\cdots\times n}^{n\text{ factors}} \overbrace{(n+1)\times (n+2)\times\cdots\times 2n}^{n\text{ factors}} \\ &\ge\overbrace{1\times 2\times\cdots\times n}^{n\text{ factors}} \overbrace{2\times 2\times\cdots\times 2}^{n\text{ factors}} \\ &=2^n\, n! \end{aligned}$

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