테일러·매클로린 급수 연습문제 — CLP-2 · 3.6절 · 50번

CLP-2 · 3.6절 · 50번대학 수준우리말 번역

도구의 법칙은 "망치를 가지고 있으면 모든 것이 못처럼 보인다"는 것인데, 이는 실제로 "도구를 일에 맞추기보다 일을 도구에 맞추려는 경향"을 설명하는 말이다. (실밴 톰킨스의 성격의 컴퓨터 시뮬레이션: 심리 이론의 최전선에서 인용함. 버밍엄 스크루드라이버도 참고하라.) 어쨌든 이는 테일러 급수를 이용해 계산하는 방법을 안다고 해서 다른 기법을 소홀히 해서는 안 된다는 것을 길게 돌려 말한 것이다.

(a) 뉴턴 방법을 이용하여 상수 $\sqrt[3]{2}$ 를 함수 $g(x)=x^3-2$ 의 근으로 보고 어림하세요. 계산기를 사용하여 0.01 이내의 오차로 정확하게 어림하세요. (b) 모든 실수 $x$ 에 대해 다음이 성립함을 증명 없이 가정해도 됩니다. $\sqrt[3]{x}=1+\frac{1}{6}(x-1)+\sum_{n=2}^\infty(-1)^{n-1}\frac{(2)(5)(8)\cdots(3n-4)}{3^n\, n!}(x-1)^n.$ 이 급수가 교대급수라는 사실을 이용하여, 부분합이 $\sqrt[3]{2}$ 를 오차 0.01 미만으로 어림하려면 몇 개의 항을 더해야 할까요?

영어 원문 보기

The law of the instrument says “If you have a hammer then everything looks like a nail” — it is really a description of the “tendency of jobs to be adapted to tools rather than adapting tools to jobs.” (Quote from Silvan Tomkins's Computer Simulation of Personality: Frontier of Psychological Theory. See also Birmingham screwdrivers.) Anyway, this is a long way of saying that just because we know how to compute things using Taylor series doesn't mean we should neglect other techniques.

(a) Using Newton's method, approximate the constant $\sqrt[3]{2}$ as a root of the function $g(x)=x^3-2$ . Using a calculator, make your estimation accurate to within 0.01. (b) You may assume without proof that $\sqrt[3]{x}=1+\frac{1}{6}(x-1)+\sum_{n=2}^\infty(-1)^{n-1}\frac{(2)(5)(8)\cdots(3n-4)}{3^n\, n!}(x-1)^n.$ for all real numbers $x$ . Using the fact that this is an alternating series, how many terms would you have to add for the partial sum to estimate $\sqrt[3]{2}$ with an error less than 0.01?

정답·풀이 보기

(a) 뉴턴 방법에서는 함수 $g(x)$ 의 근을 반복하여 어림한다. 어림값 $x_n$ 이 주어지면 다음 어림값은 $x_{n+1}=x_n-\dfrac{g(x_n)}{g'(x_n)}$ 이다. 이 경우 $x_{n+1}=x_n - \frac{x_n^3-2}{3x_n^2}=\frac23\left(x_n+\frac{1}{x_n^2}\right).$

구하려는 실제 근에 어느 정도 가까운 곳에서 시작하는 것이 좋으므로 $x_0=1$ 로 놓자. (시작점은 달라도 된다.)

$\begin{aligned} x_0&=1 &&\implies x_1=\dfrac23\left(1+\frac11\right)=\dfrac{4}{3}&\approx&1.3333\\ x_1&=\dfrac43 &&\implies x_2=\dfrac23\left(\frac43+\frac{9}{16}\right)=\dfrac{91}{72}&\approx&1.2639\\ x_2&=\dfrac{91}{72} &&\implies x_3=\dfrac23\left(\dfrac{91}{72}+\dfrac{72^2}{91^2}\right)=\dfrac{1126819 }{894348 }&\approx&1.2599\\ x_3&=\dfrac{1126819 }{894348 } &&\implies x_4=\dfrac23\left(\dfrac{1126819 }{894348 }+\dfrac{894348^2}{1126819^2}\right)&\approx&1.2599 \end{aligned}$

따라서 $\sqrt[3]{2}\approx 1.26$ 이다. (b) 주어진 급수에 $x=2$ 를 대입하면 다음 급수를 얻는다. $\sqrt[3]{2}=1+\frac{1}{6}+\sum_{n=2}^\infty(-1)^{n-1}\frac{(2)(5)(8)\cdots(3n-4)}{3^n\, n!}.$ 이 급수는 교대급수이므로 부분합 $S_N$ 을 사용하면 절대 오차는 많아야 $|a_{N+1}|=\frac{(2)(5)(8)\cdots(3N-1)}{3^{N+1}\, (N+1)!}$ 이다. (단, $N \ge 2$ 일 때.) 이 값이 0.01 이하가 되게 하는 $N$ 의 값을 알아야 하므로 여러 값을 시험해 본다.

$\begin{array}{|c|c|}\hline N & |a_{N+1}| \\ \hline \text{3} & \dfrac{(2)(5)(8)}{3^4\cdot 4!}\approx 0.04 \\ \hline \text{4} & \dfrac{(2)(5)(8)(11)}{3^5\, 5!}\approx 0.03 \\ \hline \text{5} & \dfrac{(2)(5)(8)(11)(14)}{3^6\, 6!}\approx 0.023 \\ \hline \text{6} & \dfrac{(2)(5)(8)(11)(14)(17)}{3^7\, 7!}\approx 0.019 \\ \hline \text{7} & \dfrac{(2)(5)(8)(11)(14)(17)(20)}{3^8\, 8!}\approx 0.016 \\ \hline \text{8} & \dfrac{(2)(5)(8)(11)(14)(17)(20)(23)}{3^9\, 9!}\approx 0.013 \\ \hline \text{9} & \dfrac{(2)(5)(8)(11)(14)(17)(20)(23)(26)}{3^{10}\, 10!}\approx 0.012 \\ \hline \text{10} & \dfrac{(2)(5)(8)(11)(14)(17)(20)(23)(26)(29)}{3^{11}\, 11!}\approx 0.0103 \\ \hline \text{11} & \dfrac{(2)(5)(8)(11)(14)(17)(20)(23)(26)(29)(32)}{3^{12}\, 12!}\approx 0.009 \\ \hline \end{array}$

따라서 어림값 $S_{11}$ 의 오차가 충분히 작다. 즉, 처음 12개의 항을 더하면 된다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) For Newton's method, recall we approximate a root of the function $g(x)$ in iterations: given an approximation $x_n$ , our next approximation is $x_{n+1}=x_n-\dfrac{g(x_n)}{g'(x_n)}$ . In our case, $x_{n+1}=x_n - \frac{x_n^3-2}{3x_n^2}=\frac23\left(x_n+\frac{1}{x_n^2}\right).$

We want to start somewhere reasonably close to the actual root we want, so let's set $x_0=1$ . (Your starting point may vary.)

So, $\sqrt[3]{2}\approx 1.26$ . (b) We'll evaluate the given series at $x=2$ . This yields the series $\sqrt[3]{2}=1+\frac{1}{6}+\sum_{n=2}^\infty(-1)^{n-1}\frac{(2)(5)(8)\cdots(3n-4)}{3^n\, n!}.$ This series is alternating, so if we use the partial sum $S_N$ , our absolute error is at most $|a_{N+1}|=\frac{(2)(5)(8)\cdots(3N-1)}{3^{N+1}\, (N+1)!}$ (if $N \ge 2$ ). We want to know which value of $N$ makes this at most 0.01. We test several values.

So, the approximation $S_{11}$ has a sufficiently small error. That is, we would add up the first twelve terms.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 3.6절 · 53번우리말 번역

$f(x)$ 가 기함수이고, $f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$ 이라 하자. 다음을 간단히 하세요. $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \dfrac{f^{(2n)}(0)}{(2n)!}x^{2n}$ .

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풀이 1: $f(x)$ 가 기함수이므로 정의역의 모든 $x$ 에 대해 $f(-x)=-f(x)$ 이다. 이를 주어진 거듭제곱급수에 대입한 다음, 차수가 짝수인 항과 홀수인 항을 따로 생각한다.

$\begin{aligned} f(-x)&=-f(x)\\ \sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(0)}{n!}(-x)^n&=-\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n\\ \sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(2n+1)}(0)}{(2n+1)!}(-x)^{2n+1}+ \sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(2n)}(0)}{(2n)!}(-x)^{2n}&= -\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(2n+1)}(0)}{(2n+1)!}x^{2n+1} -\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(2n)}(0)}{(2n)!}x^{2n}\\ -\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(2n+1)}(0)}{(2n+1)!}x^{2n+1}+ \sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(2n)}(0)}{(2n)!}x^{2n}&= -\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(2n+1)}(0)}{(2n+1)!}x^{2n+1} -\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(2n)}(0)}{(2n)!}x^{2n}\\ \sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(2n)}(0)}{(2n)!}x^{2n}&= -\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(2n)}(0)}{(2n)!}x^{2n}\\ 2 \sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(2n)}(0)}{(2n)!}x^{2n}&=0\\ \sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(2n)}(0)}{(2n)!}x^{2n}&=0 \end{aligned}$

풀이 2: 다른 방법으로, 다음을 이용할 수도 있다.
$f(x)$ 의 모든 도함수가 존재하므로 모든 도함수는 연속이다.
기함수의 도함수는 우함수이고, 우함수의 도함수는 기함수이다.
따라서 $f(x)$ 의 짝수 계 도함수는 연속인 기함수이다.
연속인 기함수는 모두 원점을 지난다. 즉, $f^{(2n)}(0)=0$ 이다.
따라서 급수의 모든 항은 $0$ 이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 테일러·매클로린 급수계산도전자동 분류