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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 매개변수와 극좌표

극좌표와 극방정식의 그래프

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-4 · 1.8절 · 3번대학 수준우리말 번역

다음 점들을 생각하세요.

(x1,y1)=(3,0)(x2,y2)=(1,1)(x3,y3)=(0,1)(x4,y4)=(−1,1)(x5,y5)=(−2,0)\begin{aligned} (x_1,y_1) &= (3,0) & (x_2,y_2) &= (1,1) & (x_3,y_3) &= (0,1) \\ (x_4,y_4) &= (-1,1) & (x_5,y_5) &= (-2,0) \end{aligned}

또한 각 각도 θ\theta 에 대해 벡터를 다음과 같이 정의하세요.

e^r(θ)=cos⁡θ ı^+sin⁡θ ȷ^e^θ(θ)=−sin⁡θ ı^+cos⁡θ ȷ^\begin{aligned} \hat{\mathbf{e}}_r(\theta)=\cos\theta\ \hat{\boldsymbol{\imath}} + \sin\theta\ \hat{\boldsymbol{\jmath}}\qquad \hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta) = -\sin\theta\ \hat{\boldsymbol{\imath}} + \cos\theta\ \hat{\boldsymbol{\jmath}} \end{aligned}

(a) 각 각 θ\theta 에 대해 벡터 e^r(θ)\hat{\mathbf{e}}_r(\theta) 와 e^θ(θ)\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta) 의 길이, 그리고 두 벡터 e^r(θ)\hat{\mathbf{e}}_r(\theta) 와 e^θ(θ)\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta) 사이의 각을 구하세요. 외적 e^r(θ)×e^θ(θ)\hat{\mathbf{e}}_r(\theta)\times\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta) 를 계산하세요 (e^r(θ)\hat{\mathbf{e}}_r(\theta) 와 e^θ(θ)\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta) 를 k^\hat{\mathbf{k}} 성분이 0인 3차원 벡터로 보세요). (b) 1≤i≤51\le i\le 5 인 각 ii 에 대해, xyxy평면에 점 (xi,yi)(x_i,y_i) 와 벡터 e^r(θi)\hat{\mathbf{e}}_r(\theta_i), e^θ(θi)\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta_i) 를 그리세요. 벡터를 그릴 때에는 벡터 e^r(θi)\hat{\mathbf{e}}_r(\theta_i) 와 e^θ(θi)\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta_i) 의 꼬리를 (xi,yi)(x_i,y_i) 에 두세요.

영어 원문 보기

Consider the points

(x1,y1)=(3,0)(x2,y2)=(1,1)(x3,y3)=(0,1)(x4,y4)=(−1,1)(x5,y5)=(−2,0)\begin{aligned} (x_1,y_1) &= (3,0) & (x_2,y_2) &= (1,1) & (x_3,y_3) &= (0,1) \\ (x_4,y_4) &= (-1,1) & (x_5,y_5) &= (-2,0) \end{aligned}

Also define, for each angle θ\theta, the vectors

e^r(θ)=cos⁡θ ı^+sin⁡θ ȷ^e^θ(θ)=−sin⁡θ ı^+cos⁡θ ȷ^\begin{aligned} \hat{\mathbf{e}}_r(\theta)=\cos\theta\ \hat{\boldsymbol{\imath}} + \sin\theta\ \hat{\boldsymbol{\jmath}}\qquad \hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta) = -\sin\theta\ \hat{\boldsymbol{\imath}} + \cos\theta\ \hat{\boldsymbol{\jmath}} \end{aligned}

(a) Determine, for each angle θ\theta, the lengths of the vectors e^r(θ)\hat{\mathbf{e}}_r(\theta) and e^θ(θ)\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta) and the angle between the vectors e^r(θ)\hat{\mathbf{e}}_r(\theta) and e^θ(θ)\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta). Compute e^r(θ)×e^θ(θ)\hat{\mathbf{e}}_r(\theta)\times\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta) (viewing e^r(θ)\hat{\mathbf{e}}_r(\theta) and e^θ(θ)\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta) as vectors in three dimensions with zero k^\hat{\mathbf{k}} components). (b) For each 1≤i≤51\le i\le 5, sketch, in the xyxy-plane, the point (xi,yi)(x_i,y_i) and the vectors e^r(θi)\hat{\mathbf{e}}_r(\theta_i) and e^θ(θi)\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta_i). In your sketch of the vectors, place the tails of the vectors e^r(θi)\hat{\mathbf{e}}_r(\theta_i) and e^θ(θi)\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta_i) at (xi,yi)(x_i,y_i).

정답·풀이 보기

(a) 길이는 다음과 같다.

∣e^r(θ)∣=cos⁡2θ+sin⁡2θ=1∣e^θ(θ)∣=(−sin⁡θ)2+cos⁡2θ=1\begin{aligned} |\hat{\mathbf{e}}_r(\theta)| &= \sqrt{\cos^2\theta+\sin^2\theta} = 1 \\ |\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta)| &= \sqrt{(-\sin\theta)^2+\cos^2\theta} = 1 \end{aligned}

또한

e^r(θ)⋅e^θ(θ)=(cos⁡θ)(−sin⁡θ)+(sin⁡θ)(cos⁡θ)=0\hat{\mathbf{e}}_r(\theta) \cdot \hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta) = (\cos\theta)(-\sin\theta) +(\sin\theta)(\cos\theta)=0

이므로 두 벡터는 수직이고 두 벡터 사이의 각은 π2\frac{\pi}{2} 이다. 외적은 다음과 같다.

e^r(θ)×e^θ(θ)=det⁡[ı^ȷ^k^cos⁡θsin⁡θ0−sin⁡θcos⁡θ0]=k^\begin{aligned} \hat{\mathbf{e}}_r(\theta) \times \hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta) &=\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ \cos\theta & \sin\theta & 0 \\ -\sin\theta & \cos\theta & 0 \end{matrix}\right] =\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}

(b) x=rcos⁡θx=r\cos\theta, y=rsin⁡θy=r\sin\theta 로 정해지는 θ\theta 에 대해 다음에 주목한다.

  • 벡터 e^r(θ)\hat{\mathbf{e}}_r(\theta) 는 (0,0)(0,0) 에서 (x,y)(x,y) 로 향하는 벡터와 같은 방향의 단위벡터이다.
  • 벡터 e^θ(θ)\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta) 는 e^r(θ)\hat{\mathbf{e}}_r(\theta) 에 수직인 단위벡터이다.
  • e^θ(θ)\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta) 의 yy성분은 e^r(θ)\hat{\mathbf{e}}_r(\theta) 의 xx성분과 부호가 같다. e^θ(θ)\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta) 의 xx성분은 e^r(θ)\hat{\mathbf{e}}_r(\theta) 의 yy성분과 부호가 반대이다.

다음은 i=1,3,5i =1,3,5 (축 위의 점들)에 대해 (xi,yi)(x_i,y_i), e^r(θi)\hat{\mathbf{e}}_r(\theta_i), e^θ(θi)\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta_i) 를 그린 것이다.

그림

그리고 다음은 (축척을 달리하여) i=2,4i =2,4 (축 위에 있지 않은 점들)에 대해 (xi,yi)(x_i,y_i), e^r(θi)\hat{\mathbf{e}}_r(\theta_i), e^θ(θi)\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta_i) 를 그린 것이다.

그림

원본 교재 풀이(영어)

(a) The lengths are

∣e^r(θ)∣=cos⁡2θ+sin⁡2θ=1∣e^θ(θ)∣=(−sin⁡θ)2+cos⁡2θ=1\begin{aligned} |\hat{\mathbf{e}}_r(\theta)| &= \sqrt{\cos^2\theta+\sin^2\theta} = 1 \\ |\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta)| &= \sqrt{(-\sin\theta)^2+\cos^2\theta} = 1 \end{aligned}

As

e^r(θ)⋅e^θ(θ)=(cos⁡θ)(−sin⁡θ)+(sin⁡θ)(cos⁡θ)=0\hat{\mathbf{e}}_r(\theta) \cdot \hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta) = (\cos\theta)(-\sin\theta) +(\sin\theta)(\cos\theta)=0

the two vectors are perpendicular and the angle between them is π2\frac{\pi}{2}. The cross product is

e^r(θ)×e^θ(θ)=det⁡[ı^ȷ^k^cos⁡θsin⁡θ0−sin⁡θcos⁡θ0]=k^\begin{aligned} \hat{\mathbf{e}}_r(\theta) \times \hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta) &=\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ \cos\theta & \sin\theta & 0 \\ -\sin\theta & \cos\theta & 0 \end{matrix}\right] =\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}

(b) Note that for θ\theta determined by x=rcos⁡θx=r\cos\theta, y=rsin⁡θy=r\sin\theta,

  • the vector e^r(θ)\hat{\mathbf{e}}_r(\theta) is a unit vector in the same direction as the vector from (0,0)(0,0) to (x,y)(x,y) and
  • the vector e^θ(θ)\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta) is a unit vector that is perpendicular to e^r(θ)\hat{\mathbf{e}}_r(\theta).
  • The yy-component of e^θ(θ)\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta) has the same sign as the xx-component of e^r(θ)\hat{\mathbf{e}}_r(\theta). The xx-component of e^θ(θ)\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta) has opposite sign to that of the yy-component of e^r(θ)\hat{\mathbf{e}}_r(\theta).

Here is a sketch of (xi,yi)(x_i,y_i), e^r(θi)\hat{\mathbf{e}}_r(\theta_i), e^θ(θi)\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta_i) for i=1,3,5i =1,3,5 (the points on the axes)

figure

and here is a sketch (to a different scale) of (xi,yi)(x_i,y_i), e^r(θi)\hat{\mathbf{e}}_r(\theta_i), e^θ(θi)\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta_i) for i=2,4i =2,4 (the points off the axes).

figure

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-4 · 1.8절 · 4번우리말 번역

다음 방정식을 알맞은 그림과 짝지으세요. 직교좌표는 (x,y)(x, y) 이고 극좌표는 (r,θ)(r, \theta) 입니다.

(A) 그림

(B) 그림

(C) 그림

(D) 그림

(E) 그림

(F) 그림

(a)r=2+sin⁡(4θ)(b)r=1+2sin⁡(4θ)(c)r=1(d)r=2cos⁡(θ), −π2≤θ≤π2(e)r=eθ/10+e−θ/10(f)r=θ\begin{aligned} &\text{(a)}\quad& r&=2+\sin(4\theta) \qquad\qquad & &\text{(b)}\quad& r&=1+2\sin(4\theta)\qquad\qquad & &\text{(c)}\quad& r&=1\\ &\text{(d)}& r&=2\cos(\theta),\ -\tfrac{\pi}{2}\le\theta\le\tfrac{\pi}{2}\qquad\qquad & &\text{(e)}& r&=e^{\theta/10}+e^{-\theta/10}\qquad\qquad & &\text{(f)}& r&=\theta & \end{aligned}

다 풀었으면 정답 확인

(a) −1≤sin⁡(4θ)≤1-1\le \sin(4\theta)\le 1 이므로, θ\theta 가 00 에서 2π2\pi 까지 변할 때 좌표 r=2+sin⁡(4θ)r=2+\sin(4\theta) 는 r=1r=1 과 r=3r=3 사이에서 진동한다. 최댓값 r=3r=3 은 sin⁡(4θ)=1\sin(4\theta)=1 일 때, 즉 4θ=π2+2nπ4\theta=\frac{\pi}{2} +2n\pi 일 때, 즉 θ=π8+nπ2\theta=\frac{\pi}{8}+\frac{n\pi}{2} 일 때 얻어진다. 이는 그림 (E)와 일치한다.

(b) −1≤sin⁡(4θ)≤1-1\le \sin(4\theta)\le 1 이므로, 좌표 r=1+2sin⁡(4θ)r=1+2\sin(4\theta) 는 (a)(a) 의 경우와 마찬가지로 sin⁡(4θ)=1\sin(4\theta)=1 일 때, 즉 θ=π8+nπ2\theta=\frac{\pi}{8}+\frac{n\pi}{2} 일 때 최댓값 r=3r=3 을 갖는다. 그러나 이번에는 rr 가 값 00 도 가질 수 있다. 이는 그림 (B)와 일치한다.

(c) r=1r=1 은 θ\theta 와 완전히 무관하다. 곡선 r=1r=1 위의 모든 점은 원점으로부터의 거리가 11 이다. 즉, r=1r=1 은 원점을 중심으로 하고 반지름이 11 인 원이다. 이는 그림 (F)이다.

(d) 이 경우 θ\theta 에는 −π2≤θ≤π2-\frac{\pi}{2}\le\theta\le\frac{\pi}{2} 라는 제한이 있으며, 그림 (C)와 같다. 그림 (C)는 원처럼 보인다. 직교좌표로 바꾸어 r=2cos⁡(θ)r=2\cos(\theta) 가 실제로 원임을 확인할 수 있다. 방정식 전체에 rr 를 곱하면 우변을 정확히 2x=2rcos⁡(θ)2x=2r\cos(\theta) 로 바꿀 수 있다.

r=2cos⁡(θ)  ⟺  r2=2rcos⁡(θ)  ⟺  x2+y2=2x  ⟺  (x−1)2+y2=1\begin{aligned} r=2\cos(\theta) &\iff r^2 =2r\cos(\theta) \iff x^2+y^2=2x \\ &\iff (x-1)^2+y^2=1 \end{aligned}

따라서 r=2cos⁡(θ)r=2\cos(\theta) 는 x=1x=1, y=0y=0 을 중심으로 하고 반지름이 11 인 원이며, 이는 실제로 그림 (C)와 일치한다.

(e) θ=0\theta=0 일 때 r=eθ/10+e−θ/10=2r=e^{\theta/10}+e^{-\theta/10}=2 이다.

ddθ(eθ/10+e−θ/10)=110(eθ/10−e−θ/10)>0모든 θ>0 에 대해\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta}\big(e^{\theta/10}+e^{-\theta/10}\big) =\frac{1}{10}\big(e^{\theta/10}-e^{-\theta/10}\big) >0\qquad\text{모든 }\theta > 0 \text{ 에 대해}

이므로 r=eθ/10+e−θ/10r=e^{\theta/10}+e^{-\theta/10} 는 모든 θ≥0\theta\ge 0 에서 θ\theta 가 증가함에 따라 증가한다. 게다가 θ\theta 가 커질수록 증가율도 점점 더 커진다. 따라서 rr 는 θ=0\theta=0 일 때 r=2r=2 에서 시작하여 θ\theta 가 증가함에 따라 점점 더 빠르게 증가한다. 이는 그림 (A)와 일치한다.

(f) θ=0\theta=0 일 때 r=θ=0r=\theta=0 이다.

ddθθ=1모든 θ 에 대해\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta} \theta =1 \qquad\text{모든 }\theta \text{ 에 대해}

이므로 r=θr=\theta 는 모든 θ≥0\theta\ge 0 에서 θ\theta 가 증가함에 따라 증가한다. 게다가 증가율은 θ\theta 와 무관하다. 따라서 rr 는 θ=0\theta=0 일 때 r=0r=0 에서 시작하여 θ\theta 가 증가함에 따라 일정한 비율로 증가한다. 이는 그림 (D)와 일치한다.

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CLP-4 Vector Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)

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