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문제 은행 · 기초 수학 · 공통수학1 · 다항식

다항식의 연산

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

OpenStax Intermediate Algebra · 12.4절 · 4번우리말 번역

값을 구하세요: ⓐ (51)\left(\begin{array}{c}5 \\ 1\end{array}\right) ⓑ (77)\left(\begin{array}{c}7 \\ 7\end{array}\right) ⓒ (40)\left(\begin{array}{c}4 \\ 0\end{array}\right) ⓓ (85).\left(\begin{array}{c}8 \\ 5\end{array}\right).

영어 원문 보기

Evaluate: ⓐ (51)\left(\begin{array}{c}5 \\ 1\end{array}\right) ⓑ (77)\left(\begin{array}{c}7 \\ 7\end{array}\right) ⓒ (40)\left(\begin{array}{c}4 \\ 0\end{array}\right) ⓓ (85).\left(\begin{array}{c}8 \\ 5\end{array}\right).

정답·풀이 보기

ⓐ 이항계수의 정의 (nr)=n!r!(n−r)!\left(\begin{array}{c}n \\ r\end{array}\right)=\frac{n!}{r!(n-r)!} 을 이용한다.
(51)\quad \left(\begin{array}{c}5 \\ 1\end{array}\right)
정의 (nr)=n!r!(n−r)!\left(\begin{array}{c}n \\ r\end{array}\right)=\frac{n!}{r!(n-r)!} 에 n=5,r=1n=5,r=1 을 대입한다. 5!1!(5−1)!\quad \frac{5!}{1!(5-1)!}
간단히 한다. 5!1!(4)!\quad \frac{5!}{1!(4)!}
5! 를 5⋅4!5!\,\text{를}\,5\cdot 4! 로 고쳐 쓴다. 5⋅4!1!⋅4!\quad \frac{5\cdot 4!}{1!\cdot 4!}
공통인수를 약분하여 간단히 한다. 5⋅4!1⋅4!\quad \frac{5\cdot 4!}{1\cdot 4!}
간단히 한다. 5\quad 5
(51)=5\quad \left(\begin{array}{c}5 \\ 1\end{array}\right)=5

ⓑ
(77)\quad \left(\begin{array}{c}7 \\ 7\end{array}\right)
정의 (nr)=n!r!(n−r)!\left(\begin{array}{c}n \\ r\end{array}\right)=\frac{n!}{r!(n-r)!} 에 n=7,r=7n=7,r=7 을 대입한다. 7!7!(7−7)!\quad \frac{7!}{7!(7-7)!}
간단히 한다. 7!7!(0)!\quad \frac{7!}{7!(0)!}
간단히 한다. 0!=10!=1 임을 기억한다. 1\quad 1
(77)=1\quad \left(\begin{array}{c}7 \\ 7\end{array}\right)=1

ⓒ
(40)\quad \left(\begin{array}{c}4 \\ 0\end{array}\right)
정의 (nr)=n!r!(n−r)!\left(\begin{array}{c}n \\ r\end{array}\right)=\frac{n!}{r!(n-r)!} 에 n=4,r=0n=4,r=0 을 대입한다. 4!0!(4−0)!\quad \frac{4!}{0!(4-0)!}
간단히 한다. 4!0!(4)!\quad \frac{4!}{0!(4)!}
간단히 한다. 1\quad 1
(40)=1\quad \left(\begin{array}{c}4 \\ 0\end{array}\right)=1

ⓓ
(85)\quad \left(\begin{array}{c}8 \\ 5\end{array}\right)
정의 (nr)=n!r!(n−r)!\left(\begin{array}{c}n \\ r\end{array}\right)=\frac{n!}{r!(n-r)!} 에 n=8,r=5n=8,r=5 를 대입한다. 8!5!(8−5)!\quad \frac{8!}{5!(8-5)!}
간단히 한다. 8!5!(3)!\quad \frac{8!}{5!(3)!}
8! 를 8⋅7⋅6⋅5!8!\,\text{를}\,8\cdot 7\cdot 6\cdot 5! 로 고쳐 쓰고 공통인수를 약분한다. 8⋅7⋅6⋅5!5!⋅3⋅2⋅1\quad \frac{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5!}{5!\cdot 3\cdot 2\cdot 1}
간단히 한다. 56\quad 56
(85)=56\quad \left(\begin{array}{c}8 \\ 5\end{array}\right)=56
원본 교재 풀이(영어)

ⓐ We will use the definition of a binomial coefficient, (nr)=n!r!(n−r)!.\left(\begin{array}{c}n \\ r\end{array}\right)=\frac{n!}{r!(n-r)!}.
(51)\quad \left(\begin{array}{c}5 \\ 1\end{array}\right)
Use the definition, (nr)=n!r!(n−r)!,\left(\begin{array}{c}n \\ r\end{array}\right)=\frac{n!}{r!(n-r)!}, where n=5,r=1.n=5,r=1. 5!1!(5−1)!\quad \frac{5!}{1!(5-1)!}
Simplify. 5!1!(4)!\quad \frac{5!}{1!(4)!}
Rewrite 5! as 5⋅4!5!\,\text{as}\,5\cdot 4! 5⋅4!1!⋅4!\quad \frac{5\cdot 4!}{1!\cdot 4!}
Simplify, by removing common factors. 5⋅4!1⋅4!\quad \frac{5\cdot 4!}{1\cdot 4!}
Simplify. 5\quad 5
(51)=5\quad \left(\begin{array}{c}5 \\ 1\end{array}\right)=5

ⓑ
(77)\quad \left(\begin{array}{c}7 \\ 7\end{array}\right)
Use the definition, (nr)=n!r!(n−r)!,\left(\begin{array}{c}n \\ r\end{array}\right)=\frac{n!}{r!(n-r)!}, where n=7,r=7.n=7,r=7. 7!7!(7−7)!\quad \frac{7!}{7!(7-7)!}
Simplify. 7!7!(0)!\quad \frac{7!}{7!(0)!}
Simplify. Remember 0!=1.0!=1. 1\quad 1
(77)=1\quad \left(\begin{array}{c}7 \\ 7\end{array}\right)=1

ⓒ
(40)\quad \left(\begin{array}{c}4 \\ 0\end{array}\right)
Use the definition, (nr)=n!r!(n−r)!,\left(\begin{array}{c}n \\ r\end{array}\right)=\frac{n!}{r!(n-r)!}, where n=4,r=0.n=4,r=0. 4!0!(4−0)!\quad \frac{4!}{0!(4-0)!}
Simplify. 4!0!(4)!\quad \frac{4!}{0!(4)!}
Simplify. 1\quad 1
(40)=1\quad \left(\begin{array}{c}4 \\ 0\end{array}\right)=1

ⓓ
(85)\quad \left(\begin{array}{c}8 \\ 5\end{array}\right)
Use the definition, (nr)=n!r!(n−r)!,\left(\begin{array}{c}n \\ r\end{array}\right)=\frac{n!}{r!(n-r)!}, where n=8,r=5.n=8,r=5. 8!5!(8−5)!\quad \frac{8!}{5!(8-5)!}
Simplify. 8!5!(3)!\quad \frac{8!}{5!(3)!}
Rewrite 8! as 8⋅7⋅6⋅5!8!\,\text{as}\,8\cdot 7\cdot 6\cdot 5! and remove common factors. 8⋅7⋅6⋅5!5!⋅3⋅2⋅1\quad \frac{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5!}{5!\cdot 3\cdot 2\cdot 1}
Simplify. 56\quad 56
(85)=56\quad \left(\begin{array}{c}8 \\ 5\end{array}\right)=56

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax Intermediate Algebra · 12.4절 · 5번우리말 번역

이항정리를 이용하여 (p+q)4{(p+q)}^{4} 을 전개하세요.

다 풀었으면 정답 확인

식의 꼴에서 a 와 b 를 찾는다.

이 그림은 p 더하기 q의 4제곱이라는 꼴에서, a 더하기 b의 n제곱의 a, b, n 에 해당하는 것을 어떻게 찾는지 보여 준다.

이 식에서 a=pa=p 이고 b=qb=q 이다.

이항정리를 이용한다.

(a+b)n=(n0)an+(n1)an−1b1+(n2)an−2b2+...+(nr)an−rbr+...+(nn)bn{(a+b)}^{n}=\left(\begin{array}{c}n \\ 0\end{array}\right){a}^{n}+\left(\begin{array}{c}n \\ 1\end{array}\right){a}^{n-1}{b}^{1}+\left(\begin{array}{c}n \\ 2\end{array}\right){a}^{n-2}{b}^{2}+...+\left(\begin{array}{c}n \\ r\end{array}\right){a}^{n-r}{b}^{r}+...+\left(\begin{array}{c}n \\ n\end{array}\right){b}^{n}

a=p,a=p, b=qb=q 그리고 n=4n=4 를 대입한다.

(p+q)4=(40)p4+(41)p4−1q1+(42)p4−2q2+(43)p4−3q3+(44)q4{(p+q)}^{4}=\left(\begin{array}{c}4 \\ 0\end{array}\right){p}^{4}+\left(\begin{array}{c}4 \\ 1\end{array}\right){p}^{4-1}{q}^{1}+\left(\begin{array}{c}4 \\ 2\end{array}\right){p}^{4-2}{q}^{2}+\left(\begin{array}{c}4 \\ 3\end{array}\right){p}^{4-3}{q}^{3}+\left(\begin{array}{c}4 \\ 4\end{array}\right){q}^{4}

지수를 간단히 한다.

(p+q)4=(40)p4+(41)p3q+(42)p2q2+(43)pq3+(44)q4{(p+q)}^{4}=\left(\begin{array}{c}4 \\ 0\end{array}\right){p}^{4}+\left(\begin{array}{c}4 \\ 1\end{array}\right){p}^{3}{q}^{}+\left(\begin{array}{c}4 \\ 2\end{array}\right){p}^{2}{q}^{2}+\left(\begin{array}{c}4 \\ 3\end{array}\right){p}^{}{q}^{3}+\left(\begin{array}{c}4 \\ 4\end{array}\right){q}^{4}

계수의 값을 구한다. (n1)=n,\left(\begin{array}{c}n \\ 1\end{array}\right)=n, (nn)=1,\left(\begin{array}{c}n \\ n\end{array}\right)=1, (n0)=1\left(\begin{array}{c}n \\ 0\end{array}\right)=1 임을 기억한다.

(p+q)4=1p4+4p3q1+4!2!(2)!p2q2+4!3!(4−3)!p1q3+1q4(p+q)4=p4+4p3q+6p2q2+4pq3+q4\begin{array}{c}{(p+q)}^{4}=1{p}^{4}+4{p}^{3}{q}^{1}+\frac{4!}{2!(2)!}{p}^{2}{q}^{2}+\frac{4!}{3!(4-3)!}{p}^{1}{q}^{3}+1{q}^{4} \\ {(p+q)}^{4}={p}^{4}+4{p}^{3}{q}^{}+6{p}^{2}{q}^{2}+4{p}^{}{q}^{3}+{q}^{4}\end{array}

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