다항식의 연산 연습문제 — OpenStax Intermediate Algebra · 12.4절 · 7번

OpenStax Intermediate Algebra · 12.4절 · 7번우리말 번역

이항정리를 이용하여 ${(2x-3y)}^{4}$ 을 전개하세요.

영어 원문 보기

Use the Binomial Theorem to expand ${(2x-3y)}^{4}.$

정답·풀이 보기

패턴의 a 와 b 를 찾는다.

이 그림은 2x-3y 의 4제곱 꼴의 식에서, a 더하기 b의 n제곱 꼴의 a 와 b 를 어떻게 찾는지 보여 준다.

이 식에서 $a=2x$ 이고 $b=-3y$ 이다.

이항정리를 이용한다.

${(a+b)}^{n}=\left(\begin{array}{c}n \\ 0\end{array}\right){a}^{n}+\left(\begin{array}{c}n \\ 1\end{array}\right){a}^{n-1}{b}^{1}+\left(\begin{array}{c}n \\ 2\end{array}\right){a}^{n-2}{b}^{2}+...+\left(\begin{array}{c}n \\ r\end{array}\right){a}^{n-r}{b}^{r}+...+\left(\begin{array}{c}n \\ n\end{array}\right){b}^{n}$

$a=2x,$ $b=-3y$ 그리고 $n=4$ 의 값을 대입한다.

${(2x-3y)}^{4}=\left(\begin{array}{c}4 \\ 0\end{array}\right){(2x)}^{4}+\left(\begin{array}{c}4 \\ 1\end{array}\right){(2x)}^{4-1}{(-3y)}^{1}+\left(\begin{array}{c}4 \\ 2\end{array}\right){(2x)}^{4-2}{(-3y)}^{2}+\left(\begin{array}{c}4 \\ 3\end{array}\right){(2x)}^{4-3}{(-3y)}^{3}+\left(\begin{array}{c}4 \\ 4\end{array}\right){(-3y)}^{4}$

지수를 간단히 한다.

${(2x-3y)}^{4}=\left(\begin{array}{c}4 \\ 0\end{array}\right){(2x)}^{4}+\left(\begin{array}{c}4 \\ 1\end{array}\right){(2x)}^{3}{(-3y)}^{1}+\left(\begin{array}{c}4 \\ 2\end{array}\right){(2x)}^{2}{(-3y)}^{2}+\left(\begin{array}{c}4 \\ 3\end{array}\right){(2x)}^{1}{(-3y)}^{3}+\left(\begin{array}{c}4 \\ 4\end{array}\right){(-3y)}^{4}$

계수의 값을 구한다. $\left(\begin{array}{c}n \\ 1\end{array}\right)=n,\,\left(\begin{array}{c}n \\ n\end{array}\right)=1,\,\left(\begin{array}{c}n \\ 0\end{array}\right)=1$ 임을 기억한다.

${(2x-3y)}^{4}=1{(2x)}^{4}+4{(2x)}^{3}{(-3y)}^{1}+\frac{4!}{2!(2)!}{(2x)}^{2}{(-3y)}^{2}+\frac{4!}{3!(4-3)!}{(2x)}^{1}{(-3y)}^{3}+1{(-3y)}^{4}$

${(2x-3y)}^{4}=16{x}^{4}+4\cdot 8{x}^{3}(-3y)+6(4{x}^{2})(9{y}^{2})+4(2x)(-27{y}^{3})+81{y}^{4}$

${(2x-3y)}^{4}=16{x}^{4}-96{x}^{3}y+216{x}^{2}{y}^{2}-216x{y}^{3}+81{y}^{4}$

원본 교재 풀이(영어)

We identify the a and b of the pattern.

This figure shows how we identify a plus b to the power of n, in the pattern 2 x minus 3 y times the power of 4.

In our pattern, $a=2x$ and $b=-3y.$

We use the Binomial Theorem.

Substitute in the values $a=2x,$ $b=-3y$ and $n=4.$

Simplify the exponents.

Evaluate the coefficients. Remember, $\left(\begin{array}{c}n \\ 1\end{array}\right)=n,\,\left(\begin{array}{c}n \\ n\end{array}\right)=1,\,\left(\begin{array}{c}n \\ 0\end{array}\right)=1.$

${(2x-3y)}^{4}=1{(2x)}^{4}+4{(2x)}^{3}{(-3y)}^{1}+\frac{4!}{2!(2)!}{(2x)}^{2}{(-3y)}^{2}+\frac{4!}{3!(4-3)!}{(2x)}^{1}{(-3y)}^{3}+1{(-3y)}^{4}$

${(2x-3y)}^{4}=16{x}^{4}+4\cdot 8{x}^{3}(-3y)+6(4{x}^{2})(9{y}^{2})+4(2x)(-27{y}^{3})+81{y}^{4}$

${(2x-3y)}^{4}=16{x}^{4}-96{x}^{3}y+216{x}^{2}{y}^{2}-216x{y}^{3}+81{y}^{4}$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax Intermediate Algebra · 12.4절 · 1번우리말 번역

파스칼의 삼각형을 이용하여 ${(x+y)}^{6}$ 을 전개하세요.

다 풀었으면 정답 확인

이 전개식의 문자는 앞에서 찾은 규칙을 따른다. x 의 0이 아닌 지수는 6에서 시작하여 1까지 감소한다. y 의 0이 아닌 지수는 1에서 시작하여 6까지 증가한다. 각 항에서 지수의 합은 6이다. 이 규칙에서 $a=x$ , $b=y$ 이다.

$\begin{array}{c}{(a+b)}^{n}={a}^{n}+\_\_\_{a}^{n-1}{b}^{1}+\_\_\_{a}^{n-2}{b}^{2}+...+\_\_\_{a}^{1}{b}^{n-1}+{b}^{n} \\ {(x+y)}^{6}={x}^{6}+\_\_\_{x}^{5}{y}^{1}+\_\_\_{x}^{4}{y}^{2}+\_\_\_{x}^{3}{y}^{3}+\_\_\_{x}^{2}{y}^{4}+\_\_\_{x}^{1}{y}^{5}+{y}^{6}\end{array}$

이 그림은 a 더하기 b의 n제곱이 a의 n제곱 더하기 a의 n-1제곱 곱하기 b의 1제곱 더하기 a의 n-2제곱 곱하기 b의 2제곱 더하기 줄임표 더하기 a의 1제곱 곱하기 b의 n-1제곱 더하기 b의 n제곱과 같음을 보여 준다. 다음 그림은 x 더하기 y의 6제곱이 x의 6제곱 더하기 x의 5제곱 곱하기 y의 1제곱 더하기 x의 4제곱 곱하기 y의 2제곱 더하기 x의 3제곱 곱하기 y의 3제곱 더하기 x의 2제곱 곱하기 y의 4제곱 더하기 x의 1제곱 곱하기 y의 5제곱 더하기 y의 6제곱과 같음을 보여 준다.

이 문제로 이어서 풀기

# 다항식의 연산계산자동 분류