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문제 은행 · 기초 수학 · 공통수학1 · 행렬

행렬의 연산

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

OpenStax Intermediate Algebra · 4.5절 · 6번우리말 번역

행렬을 이용하여 연립방정식을 푸세요: {3x+8y+2z=−52x+5y−3z=0x+2y−2z=−1\left\{\begin{array}{l}3x+8y+2z=-5 \\ 2x+5y-3z=0 \\ x+2y-2z=-1\end{array}\right..

영어 원문 보기

Solve the system of equations using a matrix: {3x+8y+2z=−52x+5y−3z=0x+2y−2z=−1.\left\{\begin{array}{l}3x+8y+2z=-5 \\ 2x+5y-3z=0 \\ x+2y-2z=-1\end{array}\right..

정답·풀이 보기
변수 x, y, z에 대한 세 일차방정식으로 이루어진 연립방정식이다. 방정식은 3x + 8y + 2z = -5, 2x + 5y - 3z = 0, x + 2y - 2z = -1이다.
연립방정식의 첨가행렬을 쓴다. 연립일차방정식을 나타내는 첨가행렬이다. 세로 직선이 계수 행렬과 상수항을 나누고 있다. 행렬의 크기는 3×4이다.
1행과 3행을 서로 바꾸어 1행 1열의 성분이 1이 되게 한다. 수가 적힌 3×4 첨가행렬이다. 빨간 곡선 화살표와 R1, R3 표시가 첫째 행과 셋째 행 사이의 기본 행 연산을 나타낸다.
행 연산을 이용하여 1열에서 1 아래의 성분을 0으로 만든다. 기본 행 연산 -2R_1 + R_2를 나타내는 첨가행렬이다. 연산 결과로 얻은 둘째 행이 빨간색으로 강조되어 있다.
행 연산 -3R1 + R3을 셋째 행에 적용한 뒤의 행렬이다. 바뀐 셋째 행 (0, 2, 8, -2)가 빨간색으로 강조되어 있으며, 가우스 소거법의 한 단계임을 보여 준다.
이제 2행 2열의 성분이 1이다.
행렬이 행 사다리꼴이 될 때까지 이 과정을 계속한다. 행 연산 -2R_2 + R_3을 적용한 뒤의 첨가행렬이다. 가우스 소거법의 한 단계로, 바뀐 셋째 행의 값들이 빨간색으로 강조되어 있다.
기본 행 연산 (1/6)R3을 적용한 첨가행렬이다. 그 결과 셋째 행의 성분이 0, 0, 1, -1이 되며 빨간색으로 표시되어 있다.
이제 행렬은 행 사다리꼴이다. 행 사다리꼴 형태의 첨가행렬이다. 대각선 화살표가 계수 행렬의 각 행에서 처음 나오는 1을 가리키고 있다.
대응하는 연립방정식을 쓴다. 왼쪽에 중괄호가 있는 세 일차방정식의 연립방정식이다. 방정식은 x + 2y - 2z = -1, y + z = 2, z = -1이다. 이 연립방정식은 뒤에서부터 차례로 치환하여 풀 수 있다.
치환을 이용하여 나머지 변수를 구한다. y를 구하는 풀이 과정이다. 방정식 'y + z = 2'에서 z에 -1(빨간색으로 강조)을 치환하면 'y + (-1) = 2'가 되고, 이를 간단히 하면 'y = 3'이 된다.
y=3과 z=-1을 방정식 x + 2y - 2z = -1에 치환하여, x를 구하기 위해 x + 6 + 2 = -1로 간단히 하는 과정을 보여 주는 그림이다. 흰 배경 위에 식 'x = -9'가 선명하게 쓰여 있다.
해를 순서쌍 또는 세 수의 순서쌍으로 나타낸다. 흰 배경 위에 검은 글씨로 좌표 (-9, 3, -1)이 쓰여 있다.
구한 해가 처음 방정식들을 모두 참이 되게 하는지 확인한다. 확인은 여러분에게 맡긴다.
원본 교재 풀이(영어)
A system of three linear equations with variables x, y, and z. The equations are: 3x + 8y + 2z = -5, 2x + 5y - 3z = 0, and x + 2y - 2z = -1.
Write the augmented matrix for the equations. An augmented matrix representing a system of linear equations, with a vertical line separating the coefficient matrix from the constant terms. The matrix is 3x4.
Interchange row 1 and 3 to get the entry in row 1, column 1 to be 1. An augmented 3x4 matrix with numerical values, featuring curved red arrows and labels R1 and R3 indicating an elementary row operation between the first and third rows.
Using row operations, get zeros in column 1 below the 1. An augmented matrix illustrating the elementary row operation -2R_1 + R_2, with the resulting second row highlighted in red.
A matrix shown after performing the row operation -3R1 + R3 on the third row. The modified third row, (0, 2, 8, -2), is highlighted in red, indicating a step in Gaussian elimination.
The entry in row 2, column 2 is now 1.
Continue the process until the matrix is in row-echelon form. Augmented matrix after applying the row operation -2R_2 + R_3, with the modified third row values highlighted in red during a step in Gaussian elimination.
An augmented matrix with the elementary row operation (1/6)R3 applied, resulting in the third row elements 0, 0, 1, -1 (shown in red).
The matrix is now in row-echelon form. An augmented matrix in row echelon form with a diagonal arrow highlighting the leading ones of the coefficient matrix.
Write the corresponding system of equations. A system of three linear equations is shown with a brace on the left. The equations are x + 2y - 2z = -1, y + z = 2, and z = -1. This system can be solved using back-substitution.
Use substitution to find the remaining variables. A mathematical problem solving for 'y'. The equation 'y + z = 2' is shown, where 'z' is substituted with -1 (highlighted in red), leading to 'y + (-1) = 2', which simplifies to 'y = 3'.
The image illustrates the substitution of y=3 and z=-1 into the equation x + 2y - 2z = -1, leading to the simplified form x + 6 + 2 = -1 to solve for x. The algebraic expression 'x = -9' is clearly shown on a white background.
Write the solution as an ordered pair or triple. The image shows the mathematical coordinates (-9, 3, -1) in black text on a white background.
Check that the solution makes the original equations true. We leave the check for you.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax Intermediate Algebra · 4.5절 · 16번우리말 번역

행렬을 이용하여 연립방정식 풀기

다음 문제에서 행렬을 이용하여 각 연립방정식을 푸세요.

{3x+y=2x−y=2\left\{\begin{array}{l}3x+y=2 \\ x-y=2\end{array}\right.

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다 풀었으면 정답 확인

(1,−1)(1,-1)

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