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문제 은행 · 기초 수학 · 공통수학1 · 행렬

행렬의 연산

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OpenStax Intermediate Algebra · 4.5절 · 8번우리말 번역

행렬을 이용하여 연립방정식 {x−2y+3z=1x+y−3z=73x−4y+5z=7\left\{\begin{array}{l}x-2y+3z=1 \\ x+y-3z=7 \\ 3x-4y+5z=7\end{array}\right. 을 푸세요.

영어 원문 보기

Solve the system of equations using a matrix: {x−2y+3z=1x+y−3z=73x−4y+5z=7.\left\{\begin{array}{l}x-2y+3z=1 \\ x+y-3z=7 \\ 3x-4y+5z=7\end{array}\right..

정답·풀이 보기
변수 x, y, z로 이루어진 세 일차방정식의 연립방정식이다. 방정식은 x - 2y + 3z = 1, x + y - 3z = 7, 3x - 4y + 5z = 7이다.
방정식의 첨가행렬을 쓴다. 세 일차방정식으로 이루어진 연립방정식을 나타낸 첨가행렬이다. 3×4 행렬이며, 계수는 각각 (1, -2, 3), (1, 1, -3), (3, -4, 5)이고 상수는 각각 1, 7, 7이다.
1행 1열의 성분은 1이다.
행 연산을 이용하여 1 아래의 1열 성분을 0으로 만든다. 기본 행 연산 -1R1 + R2를 보여 주는 첨가행렬이다. 바뀐 두 번째 행 (0, 3, -6, 6)이 빨간색으로 강조되어 있으며, 가우스 소거법의 한 단계를 나타낸다.
일차방정식의 연립방정식을 나타낸 첨가행렬이다. 빨간색으로 강조된 세 번째 행 (0, 2, -4, 4)이 행 연산 '-3R1 + R3'과 함께 제시되어 있으며, 이 행이 어떻게 얻어졌는지 보여 준다.
행렬이 행 사다리꼴이 될 때까지 이 과정을 계속한다. 행 연산 (1/3)R2를 나타낸 첨가행렬이다. 빨간색으로 강조된 두 번째 행의 성분은 0, 1, -2, 2로, 연산 후 행렬의 상태를 보여 준다.
2행에 −2-2 를 곱하여 3행에 더한다. 행 연산 -2R2 + R3을 적용한 뒤의 첨가행렬이다. 그 결과 세 번째 행이 모두 0이 되었다. 이는 해가 있고 해가 무수히 많은 연립일차방정식을 나타낸다.
이 시점에서 맨 아래 행이 모두 0이다.
이에 대응하는 연립방정식을 쓴다. 세 변수 x, y, z로 이루어진 세 일차방정식의 연립방정식이 나타나 있다. 방정식은 x - 2y + 3z = 1, y - 2z = 2, 0 = 0이며, 해가 무수히 많음을 나타낸다.
0=00=0 은 참인 식이다. 대입법으로 풀었을 때와 마찬가지로, 이는 이 연립방정식이 해가 무수히 많은(부정) 연립방정식임을 뜻한다. 해가 무수히 많다.
두 번째 방정식에서 y 를 z 에 대한 식으로 나타낸다. 두 방정식 y - 2z = 2와 이를 정리한 꼴 y = 2z + 2가 나타나 있으며, 변수 y를 따로 떼어 내는 방법을 보여 준다.
첫 번째 방정식에서 x 를 z 에 대한 식으로 나타낸다. 흰 배경에 검은 글씨로 'x - 2y + 3z = 1'인 방정식이 나타나 있다.
y=2z+2y=2z+2 를 대입한다. 흰 배경에 방정식 x - 2(2z + 2) + 3z = 1이 나타나 있다.
간단히 한다. 흰 배경에 검은 글씨로 식 x - 4z - 4 + 3z = 1이 쓰여 있는 방정식이 나타나 있다.
간단히 한다. 흰 배경에 'X - Z - 4 = 1'이라고 쓰인 대수 방정식이 나타나 있다.
간단히 한다. 흰 배경에 방정식 X = Z + 5가 나타나 있다. 이는 변수 X와 Z 사이의 간단한 대수적 관계로, Z에 상수 5를 더한 것을 나타낸다.
이 연립방정식은 해가 무수히 많다. (85,−425,−245)\left(\frac{8}{5},-\frac{42}{5},-\frac{24}{5}\right)
원본 교재 풀이(영어)
A system of three linear equations with variables x, y, and z. The equations are: x - 2y + 3z = 1, x + y - 3z = 7, and 3x - 4y + 5z = 7.
Write the augmented matrix for the equations. An augmented matrix representing a system of three linear equations. The matrix is 3x4, with coefficients (1, -2, 3), (1, 1, -3), (3, -4, 5) and constants (1, 7, 7) respectively.
The entry in row 1, column 1 is 1.
Using row operations, get zeros in column 1 below the 1. Augmented matrix demonstrating the elementary row operation -1R1 + R2, where the modified second row (0, 3, -6, 6) is highlighted in red, illustrating a step in Gaussian elimination.
An augmented matrix displaying a system of linear equations. The third row, highlighted in red as (0, 2, -4, 4), is presented alongside the row operation '-3R1 + R3', indicating its derivation.
Continue the process until the matrix is in row-echelon form. An augmented matrix displays the row operation (1/3)R2. The elements of the second row, highlighted in red, show the current state of the matrix after the operation, featuring values 0, 1, -2, and 2.
Multiply row 2 by −2-2 and add it to row 3. An augmented matrix is shown after the row operation -2R2 + R3 was applied, resulting in the third row being all zeros. This represents a consistent system of linear equations with infinitely many solutions.
At this point, we have all zeros in the bottom row.
Write the corresponding system of equations. A system of three linear equations with three variables x, y, and z is displayed. The equations are: x - 2y + 3z = 1, y - 2z = 2, and 0 = 0, indicating infinitely many solutions.
Since 0=00=0 we have a true statement. Just as when we solved by substitution, this tells us we have a dependent system. There are infinitely many solutions.
Solve for y in terms of z in the second equation. Two mathematical equations are displayed: y - 2z = 2, and its rearranged form y = 2z + 2, illustrating how to isolate the variable y.
Solve the first equation for x in terms of z. A mathematical equation is displayed with a white background, showing 'x - 2y + 3z = 1' in black text.
Substitute y=2z+2.y=2z+2. A mathematical equation is displayed on a white background: x - 2(2z + 2) + 3z = 1.
Simplify. A mathematical equation is displayed with the expression x - 4z - 4 + 3z = 1 written in black against a white background.
Simplify. An algebraic equation is shown on a white background, reading 'X - Z - 4 = 1'.
Simplify. The equation X = Z + 5 is displayed on a white background, representing a simple algebraic relationship between the variables X and Z, with a constant of 5 added to Z.
The system has infinitely many solutions (85,−425,−245)\left(\frac{8}{5},-\frac{42}{5},-\frac{24}{5}\right)

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행렬식 ∣1−1402−1−2−33∣|\begin{array}{ccccccc}1 & & & -1 & & & 4 \\ 0 & & & 2 & & & -1 \\ -2 & & & -3 & & & 3\end{array}| 에서 ⓐ a1{a}_{1} ⓑ b2{b}_{2} ⓒ c3{c}_{3} 의 소행렬식을 구하고, 그 값을 구하세요.

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