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문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 적분

속도와 거리

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

OpenStax 1권 · 5.4절 · 23번우리말 풀이

원 모양의 넓이 A(t)A(t) 가 일정한 비율로 커지고 있습니다. 시각 t=2t=2 부터 t=3t=3 까지 넓이가 4π4\pi 에서 9π9\pi 로 늘어날 때, 이 시간 동안 반지름의 순변화량을 구하세요.

영어 원문 보기

The area A(t)A(t) of a circular shape is growing at a constant rate. If the area increases from 4π units to 9π units between times t=2t=2 and t=3,t=3, find the net change in the radius during that time.

풀이 보기

반지름 변화량은 (나중 반지름) − (처음 반지름)이고, 반지름은 r=A/πr=\sqrt{A/\pi} 로 넓이에서 바로 알 수 있어요.

  1. 1

    넓이와 반지름의 관계를 써요. 원의 넓이 A=πr2A=\pi r^2 이므로 r=A/πr=\sqrt{A/\pi} 예요.

  2. 2

    처음과 나중의 반지름을 구해요. t=2t=2 에서 A=4πA=4\pi 이므로 r=2r=2, t=3t=3 에서 A=9πA=9\pi 이므로 r=3r=3 이에요.

  3. 3

    순변화량을 계산해요. 변화율 r′(t)r'(t) 를 적분한 값이 순변화량이고, 이는 끝값 − 처음값과 같아요. ∫23r′(t) dt=r(3)−r(2)=3−2=1\int_2^3 r'(t)\,dt=r(3)-r(2)=3-2=1

  4. 4

    참고: 일정하게 커진다는 조건을 써 보면. 넓이가 일정한 비율로 커지므로 A(t)=4π+5π(t−2)A(t)=4\pi+5\pi(t-2) 이고 r(t)=5t−6r(t)=\sqrt{5t-6} 이에요. r′(t)=525t−6r'(t)=\dfrac{5}{2\sqrt{5t-6}} 를 22 에서 33 까지 적분해도 [5t−6]23=3−2=1\big[\sqrt{5t-6}\big]_2^3=3-2=1 로 같아요.

답

반지름이 11 만큼 증가해요(순변화량 =1=1).

자주 하는 실수

넓이 변화량 5π5\pi 를 반지름 변화량으로 착각하는 실수가 많아요.

원본 교재 풀이(영어)

The net increase is 1 unit.

한 번 더 — 비슷한 문제Active Calculus · 4.1절 · 8번우리말 번역

장난감 로켓을 바람이 없는 날 지면에서 수직으로 발사한다. 시각 tt(초)에서 로켓의 수직 속도는 v(t)=500−32tv(t)= 500-32t 피트/초로 주어진다.

(a) 로켓을 발사한 후 몇 초일 때 로켓의 속도가 0이 되는지 구하세요. 이 시각을 aa라 하세요. t=at = a 일 때 로켓에 어떤 일이 일어나는지 설명하세요. (b) 구간 0≤t≤a0 \le t \le a 에서 y=v(t)y = v(t) 와 tt축으로 둘러싸인 부분의 전체 넓이의 값을 구하세요. 이 넓이는 문제의 물리적 상황에서 무엇을 나타내는지 설명하세요. (c) 함수 vv 의 부정적분 ss 를 구하세요. 즉, s′(t)=v(t)s'(t) = v(t) 를 만족시키는 함수 ss 를 구하세요. (d) s(a)−s(0)s(a) - s(0) 의 값을 구하세요. 이 값은 문제의 물리적 상황에서 무엇을 나타내는지 설명하세요. (e) s(5)−s(1)s(5) - s(1) 의 값을 구하세요. 이 값은 로켓의 비행에 대해 무엇을 알려 주는지 설명하세요.

다 풀었으면 정답 확인

(a) v(t)=0v(t) = 0 으로 놓으면 500−32t=0500 - 32t = 0 이므로 t=50032=1258=15.625t = \frac{500}{32} = \frac{125}{8} = 15.625 이다. 이 시각은 로켓의 속도가 양에서 음으로 바뀌는 때이고, 따라서 로켓의 위치가 증가에서 감소로 바뀌는 지점, 즉 로켓이 최고 높이에 도달하는 때이다. (b) 구간 [0,15.625][0, 15.625] 에서 vv 는 두 점 (0,500)(0,500) 과 (15.625,0)(15.625,0) 을 잇는 구간에서 값이 양인 일차함수이므로, 속도 함수와 tt축으로 둘러싸인 영역은 수직인 변의 길이가 500500, 수평인 변의 길이가 15.62515.625 인 직각삼각형이다. 이 삼각형의 넓이는 A=12bh=12(15.625)(500)=3906.25A = \frac{1}{2}bh = \frac{1}{2}(15.625)(500) = 3906.25 이다. 이것은 속도 곡선 아래의 넓이이고(속도가 양인 구간이므로) 시간 구간 [0,15.625][0, 15.625] 에서 로켓이 수직으로 이동한 거리를 나타낸다. (c) 도함수가 v(t)=s′(t)=500−32tv(t) = s'(t) = 500-32t 인 함수의 하나는 s(t)=500t−16t2s(t) = 500t - 16t^2 이다. (d) (c)의 결과를 이용하면 s(15.625)−s(0)=500(15.625)−16(15.625)2−(0−0)=3906.25s(15.625) - s(0) = 500(15.625) - 16(15.625)^2 - (0 - 0) = 3906.25 이다. 따라서 [0,15.625][0,15.625] 에서 로켓의 위치 변화량은 3906.253906.25 피트이며, 이 구간 내내 속도가 양이므로 이는 로켓이 이 시간 구간 동안 수직으로 이동한 거리이기도 하다. (e) s(5)−s(1)=1616s(5) - s(1) = 1616 이므로, 로켓은 t=1t = 1 에서 t=5t = 5 까지 44초 동안 16161616 피트 상승했음을 알 수 있다.

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