두 곡선 사이의 넓이

교점을 구해요. $y^2-2=2y$ 에서 $y^2-2y-2=0$ 이므로 $y=1\pm\sqrt3$ 이에요. 이때 $x=2y$ 이니까 교점의 $x$좌표는 $2\pm2\sqrt3$ 이에요.

$y$에 대해 적분해요. 두 식이 모두 $x=\cdots$ 꼴이라 $y$를 변수로 보면 한 번에 계산돼요. $y=0$ 에서 직선은 $x=0$, 포물선은 $x=-2$ 이므로 직선이 오른쪽이에요. $$A=\int_{1-\sqrt3}^{1+\sqrt3}\left(2y-(y^2-2)\right)dy=\int_{1-\sqrt3}^{1+\sqrt3}(-y^2+2y+2)\,dy$$

계산을 쉽게 하려고 $t=y-1$ 로 바꿔요. $-y^2+2y+2=3-(y-1)^2=3-t^2$ 이고 구간은 $-\sqrt3\le t\le\sqrt3$ 이에요. $$A=\int_{-\sqrt3}^{\sqrt3}(3-t^2)\,dt=2\left[3t-\frac{t^3}{3}\right]_0^{\sqrt3}=2\left(3\sqrt3-\sqrt3\right)=4\sqrt3$$

$x$에 대해 적분하면 어떨까요? 포물선은 $y=\pm\sqrt{x+2}$ 로 위·아래 두 줄기라서 구간을 둘로 나눠야 해요. $x_1=2-2\sqrt3$, $x_2=2+2\sqrt3$ 라 하면 $$A=\int_{-2}^{x_1}2\sqrt{x+2}\,dx+\int_{x_1}^{x_2}\left(\sqrt{x+2}-\frac{x}{2}\right)dx$$

$u=x+2$ 로 계산해요. $u_1=4-2\sqrt3=(\sqrt3-1)^2$, $u_2=4+2\sqrt3=(\sqrt3+1)^2$ 이므로 $u_1^{3/2}=6\sqrt3-10$, $u_2^{3/2}=6\sqrt3+10$ 이에요. 그러면 $$A=\frac43(6\sqrt3-10)+\frac23\big[(6\sqrt3+10)-(6\sqrt3-10)\big]-\frac{x_2^2-x_1^2}{4}$$ 여기서 $\dfrac{x_2^2-x_1^2}{4}=\dfrac{(x_2-x_1)(x_2+x_1)}{4}=\dfrac{4\sqrt3\cdot4}{4}=4\sqrt3$ 이므로 $$A=\left(8\sqrt3-\frac{40}{3}\right)+\frac{40}{3}-4\sqrt3=4\sqrt3$$ $y$로 적분한 값과 같고, $y$로 적분하는 쪽이 훨씬 쉬워요.