밀도·질량과 질량중심

(a) 질량을 구하기 위해 막대를 길이가 $\Delta x$ 로 균일한 조각들로 나누고, $i$ 번째 조각의 밀도를 상수 밀도 $\rho(x_i)$ 로 근사한다. 그러면 $i$ 번째 조각의 질량은 근사적으로 $\rho(x_i) \Delta x$ 이다. 이 근삿값들을 더하고 조각의 수를 무한히 늘릴 때의 극한을 취하면, 막대의 질량을 나타내는 정적분 $$\int_0^a \rho(x) \ dx$$ 를 얻는다. 치환 $u = -0.1x$, $du = -0.1 \ dx$ 를 사용하면 $$\begin{aligned}\int_0^a \rho(x) \ dx &= \int_0^a 10e^{-0.1x} \ dx \\ &= \int_0^{-0.1a} -100 e^u \ du \\ &= -100e^u \biggm|_0^{-0.1a} \\ &= -100\left(e^{-0.1a} - 1\right) \\ &= 100\left(1-e^{-0.1a}\right)\end{aligned}\,.$$ 따라서 질량이 $30$ g 이면 $100\left(1-e^{-0.1a}\right) = 30$ 이므로 $1-e^{-0.1a} = 0.3$ 이고, $e^{-0.1a} = 0.7$ 이다. 그러면 $-0.1a = \ln(0.7)$ 이므로 $a = -10 \ln(0.7) \approx 3.567 \text{ cm}$ 이다. (b) 밀도가 감소 함수이므로, 막대의 무게중심은 중점의 왼쪽에 있을 것으로 예상할 수 있다. (c) 무게중심을 구하기 위해, (a)에서처럼 막대를 길이가 $\Delta x$ 로 균일한 조각들로 나누고, $i$ 번째 조각의 질량을 상수 밀도 $\rho(x_i)$ 로 근사하여 $\rho(x_i) \Delta x$ 라 한다. $i$ 번째 조각의 위치는 근사적으로 $x_i/$ 이다. 막대를 $n$ 개의 이산적인 질량(조각들)의 모임으로 보면, 무게중심 $\overline{x}$ 는 근사적으로 $$\overline{x} \approx \frac{\sum_{i=1}^n x_i \rho(x_i) \Delta x}{\sum_{i=1}^n \rho(x_i) \Delta x}\,$$ 이다. 조각의 수를 무한히 늘리면 막대의 무게중심의 정확한 위치 $$\overline{x} = \frac{\int_0^a x \rho(x) \ dx}{\int_0^a \rho(x) \ dx}\,$$ 를 얻는다. 막대의 질량이 $30$ g 이므로, 이제 $\int_0^a x \rho(x) \ dx = \int_0^a 10xe^{-0.1x} \ dx$ 의 값만 구하면 된다. $u = x$, $du = dx$, $dv = e^{-0.1x} \ dx$, $v = -10e^{-0.1x}$ 로 놓고 부분적분하면 $$\begin{aligned}\int_0^a 10xe^{-0.1x} \ dx &= 10\left(-10xe^{-0.1x}\biggm|_0^a + \int_0^a -10e^{-0.1x} \ dx \right) \\ &= 10\left(-10ae^{-0.1a} + 100(1-e^{-0.1a})\right) \\ &\approx 10\left(-10(3.567)ae^{-0.1(3.567)} + 100(1-e^{-0.1(3.567)})\right) \\ &\approx 50.3338\end{aligned}\,.$$ 따라서 무게중심은 $\overline{x} \approx \frac{50.3338}{30} \approx 1.687$ 이고, 이는 예상대로 길이 $3.567$ cm 인 막대의 중간보다 작다. (d) 각 조각의 질량은 $15$ g 이어야 한다. 구간 $[0, q]$ 에서 막대의 질량이 15 가 되도록 하는, 0 과 $a$ 사이의 $x$ 값을 $q$ 라 하자. 치환 $u = -0.1x$, $du = -0.1 \ dx$ 를 사용하면 구간 $[0, q]$ 에서 막대의 질량은 $$\begin{aligned}\int_0^q \rho(x) \ dx &= \int_0^q 10e^{-0.1x} \ dx \\ &= \int_0^{-0.1q} -100e^{u} \ du \\ &= -100e^u\biggm|_0^{-0.1q} \\ &= 100\left(1-e^{-0.1q}\right)\end{aligned}$$ 이다. 이 질량이 $15$ g 이 되어야 하므로 $100\left(1-e^{-0.1q}\right) = 15$ 를 만족하는 $q$ 를 구한다. 보통의 방법으로 $q$ 에 대해 풀면 $q = -10\ln(0.85) \approx 1.625$ cm 이다. 이 값은 무게중심과 같지 않음에 주의한다. 무게중심은 (무게중심으로부터의 거리로 정해지는) 돌림힘을 고려하지만, 물체를 같은 질량의 두 조각으로 나누는 지점을 계산할 때에는 돌림힘이 반영되지 않는다.