삼각치환

이 피적분함수는 위의 것들과 매우 달라 보인다. 그러나 약간 변장했을 뿐이다. 완전제곱식으로 고치면

$$\begin{aligned} \int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{3-2x-x^2}} = \int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{4-(x+1)^2}} \end{aligned}$$

이고, $y=x+1$, $\mathrm{d}y=\mathrm{d}x$ 로 치환하면

$$\begin{aligned} \int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{3-2x-x^2}} = \int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{4-(x+1)^2}} = \int \frac{\mathrm{d}y}{\sqrt{4-y^2}} \end{aligned}$$

전형적인 삼각함수 치환적분이 된다. 따라서 $y=2\sin\theta$, $\mathrm{d}y=2\cos\theta\,\mathrm{d}\theta$ 로 치환하면

$$\begin{aligned} \int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{3-2x-x^2}} &= \int \frac{\mathrm{d}y}{\sqrt{4-y^2}} = \int\frac{2\cos\theta\,\mathrm{d}\theta}{\sqrt{4-4\sin^2\theta}} = \int\frac{2\cos\theta\,\mathrm{d}\theta}{\sqrt{4\cos^2\theta}}\\ &=\int\mathrm{d}\theta =\theta +C =\arcsin\frac{y}{2} + C \\ &=\arcsin\frac{x+1}{2} + C \end{aligned}$$

숙련된 적분 계산자라면 아마 $y$ 를 거치지 않고 곧바로 $x+1 = 2\sin\theta$ 로 치환할 것이다.