삼각치환

(a) $\theta = \arccos \left(\frac{x}{2}\right)$ 라 하자. 즉 $\cos(\theta) = \frac{x}{2}$ 이고 $0 \leq \theta \leq \pi$ 이다. 그러면 각 $\theta$ 를 가지고, 이웃변의 부호 있는 길이가 $x$ 이고($\theta > \frac{\pi}{2}$ 이면 $x$ 는 음수임에 주의한다) 빗변의 길이가 $2$ 인 직각삼각형을 그릴 수 있다. 피타고라스 정리에 의해 이 삼각형의 반대변의 길이는 $\sqrt{4-x^2}$ 이다.

따라서

$$\sin\left(\arccos \left(\frac{x}{2}\right)\right)=\sin \theta = \frac{\mathrm{opp}}{\mathrm{hyp}} = \frac{\sqrt{4-x^2}}{2}$$ (b) $\theta = \arctan \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$ 라 하자. 즉 $\tan(\theta) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ 이고 $-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ 이다.

• 풀이 1: 그러면 $\theta = \dfrac{\pi}{6}$ 이므로 $\sin\theta = \dfrac{1}{2}$ 이다.
• 풀이 2: 그러면 각 $\theta$ 를 가지고, 반대변의 길이가 $1$ 이고 이웃변의 길이가 $\sqrt{3}$ 인 직각삼각형을 그릴 수 있다. 피타고라스 정리에 의해 이 삼각형의 빗변의 길이는 $\sqrt{\sqrt{3}^2+1^2}=2$ 이다.

따라서

$$\sin\left(\arctan \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\right)=\sin \theta = \frac{\mathrm{opp}}{\mathrm{hyp}} = \frac{1}{2}$$ (c) $\theta = \arcsin \left(\sqrt{x}\right)$ 라 하자. 즉 $\sin(\theta) = \sqrt{x}$ 이고 $-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ 이다. 그러면 각 $\theta$ 를 가지고, 반대변의 길이가 $\sqrt{x}$ 이고 빗변의 길이가 $1$ 인 직각삼각형을 그릴 수 있다. 피타고라스 정리에 의해 이 삼각형의 이웃변의 길이는 $\sqrt{1-x}$ 이다.

따라서

$$\sec\left(\arcsin \left(\sqrt{x}\right)\right)=\sec \theta = \frac{\mathrm{hyp}}{\mathrm{adj}} = \frac{1}{\sqrt{1-x}}$$