삼각치환

완전제곱식으로 나타내면 $4x^2-12x+8 = (2x-3)^2-1$ 이다.

$$\begin{aligned} \int \dfrac{1}{(2x-3)^3\sqrt{4x^2-12x+8}}~\mathrm{d}x&= \int \dfrac{1}{(2x-3)^3\sqrt{(2x-3)^2-1}}~\mathrm{d}x \\ \text{As $x>2$, we have $2x-3>1$. We use the substitution $2x-3 = \sec \theta$ with $0\le\theta<\frac{\pi}{2}$. So $2\,\mathrm{d}x=\sec\theta\tan\theta~\mathrm{d}\theta$ and $\sqrt{(2x-3)^2-1}=\sqrt{\sec^2\theta-1}=\sqrt{\tan^2\theta}=\tan\theta$.} \\ &=\frac{1}{2}\int\frac{1}{\sec^3\theta\sqrt{\sec^2\theta-1}}\sec\theta\tan\theta~\mathrm{d}\theta\\ &=\frac{1}{2}\int\frac{1}{\sec^3\theta\tan\theta}\sec\theta\tan\theta~\mathrm{d}\theta \\&=\frac{1}{2}\int\frac{1}{\sec^2\theta}~\mathrm{d}\theta \\&=\frac{1}{2}\int{\cos^2\theta}~\mathrm{d}\theta \\&=\frac{1}{4}\int{\left(1+\cos(2\theta)\right)}~\mathrm{d}\theta \\&=\frac14\left(\theta + \frac{1}{2}\sin(2\theta)\right)+C \\&=\frac14\left(\theta + \sin\theta\cos\theta\right)+C \\ \smash{  }\,&=\frac{1}{4}\left(\arccos\left(\frac{1}{2x-3}\right) + \frac{\sqrt{4x^2-12x+8}}{(2x-3)^2}\right)+C \end{aligned}$$

$2x-3=\sec\theta$ 이므로 $\cos\theta = \frac{1}{2x-3}$ 이고 $\theta = \arccos\left(\frac{1}{2x-3}\right)$ 이다. (이와 같게, $\theta = \mathop{\mathrm{arcsec}}(2x-3)$ 이다.) $\sin\theta$ 를 구하기 위해 밑변의 길이가 1이고 빗변의 길이가 $2x-3$ 인 직각삼각형을 그린다. 피타고라스 정리에 의해 θ의 대변(높이)의 길이는 $\sqrt{4x^2-12x+8}$ 이다.