방향장과 정성적 해석

(a) $P$ 에 대한 $f$ 의 그래프는 아래 그림의 파란색 그래프이다. 이 그래프와 미분방정식으로부터 평형해는 $f(P)=0$ 일 때, 즉 $P=0$ 또는 $P=6$ 일 때 나타난다. $P$ 가 0 보다 약간 작을 때 $P' < 0$ 이므로 $P < 0$ 인 해는 평형 $P=0$ 에서 멀어지며 감소한다. 또 $P$ 가 0 보다 약간 클 때 $P'>0$ 이라는 것은 $P >$ 인 해가 평형 $P=0$ 에서 멀어지며 증가한다는 뜻이다. 따라서 $P=0$ 은 불안정한 평형이다. $P$ 가 $6$ 보다 약간 작으면 $P > 0$ 임을 알 수 있으므로 이 해들은 평형 $P=0$ 을 향해 증가한다. $P$ 가 $6$ 보다 약간 크면 $P' < 0$ 이므로 이 해들은 평형 $P = 6$ 을 향해 감소한다. 따라서 평형해 $P=6$ 은 안정하다고 결론짓는다. (b) 잡아가면 매달 $P$ 가 $1$ 천 마리씩 줄어들므로 새 미분방정식은 다음과 같다. $$\frac{dP}{dt} = g(P) = P(6-P)-1\,.$$ $P$ 에 대한 $g$ 의 그래프는 (a)의 그림에서 초록색 그래프이다. 이제 평형해는 $g(P) = P(6-P)-1 = 0$ 일 때 나타난다. 이는 $P^2-6P+1 = 0$ 일 때 성립한다. 근의 공식에 의하면 이 이차방정식의 해는 다음과 같다. $$P = \frac{6+\sqrt{32}}{2} \approx 5.83 \ \ \ \text{ 그리고 } \ \ \ P = \frac{6-\sqrt{32}}{2} \approx 0.172\,.$$ (a)와 같은 논증에 의해 $P\approx 0.172$ 에서의 평형은 불안정하고 $P \approx 5.83$ 에서의 평형은 안정하다. (c) 호수에 물고기가 있어서 $P > 0$ 이라고 가정하면 고려할 경우는 두 가지이다. $P < \frac{6-\sqrt{32}}{2}$ 이면 $P' < 0$ 이므로 물고기 개체 수는 사라진다. $\frac{6-\sqrt{32}}{2} < P < \frac{6+\sqrt{32}}{2}$ 이면 $P' > 0$ 이므로 물고기 개체 수는 증가하여 안정한 평형 개체 수인 $\frac{6+\sqrt{32}}{2}$ 천 마리에 가까워진다. $P > \frac{6+\sqrt{32}}{2}$ 이면 $P' < 0$ 이므로 물고기 개체 수는 감소하여 안정한 평형 개체 수인 $\frac{6+\sqrt{32}}{2}$ 천 마리에 가까워진다. (d) 이 경우 미분방정식은 다음과 같이 된다. $$\frac{dP}{dt} = g(P) = P(6-P)-h\,.$$ 평형해는 $P^2 - 6P + h = 0$ 일 때, 즉 $$P = \frac{6+\sqrt{36-4h}}{2} \ \ \ \text{ 그리고 } \ \ \ P = \frac{6-\sqrt{36-4h}}{2}$$ 일 때 나타난다. (e) 양의 안정한 평형이 필요하다. 이는 $36-4h \ge 0$, 즉 $h \le 9$ 인 한 성립한다. 따라서 최대로 잡을 수 있는 양은 $9000$ 마리이다. $P'$ 이 음수이므로 처음에 $3000$ 마리보다 많은 물고기로 시작해야 한다. $P(6-P)$ 의 최댓값이 $9$ 이므로 물고기는 충분히 빠르게 번식하여 $9000$ 마리를 잡더라도 안정한 개체 수가 유지된다.