비교 판정법

$n$ 이 클 때 분자 $n^3-4\approx n^3$ 이고 분모 $2n^5-6n\approx 2n^5$ 이므로, 제$n$항은 대략 $\frac{n^3}{2n^5}=\frac{1}{2n^2}$ 이다. 따라서 $a_n=\frac{n^3-4}{2n^5-6n}$ 과 $b_n=\frac{1}{n^2}$ 에 극한비교판정법을 적용한다.

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{b_n} =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{(n^3-4)/(2n^5-6n)}{1/n^2} =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1-\frac{4}{n^3}}{2-\frac{6}{n^4}} =\frac12$$

이고 이 극한이 존재하며 0이 아니므로, 주어진 급수 $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ 이 수렴하는 것과 급수 $\sum\limits_{n=1}^\infty b_n$ 이 수렴하는 것은 서로 필요충분조건이다. 급수 $\sum\limits_{n=1}^\infty b_n =\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}$ 은 수렴하는 $p$-급수($p=2$)이므로 두 급수 모두 수렴한다.