비율 판정법과 근 판정법 연습문제 — OpenStax 2권 · 5.6절 · 31번

OpenStax 2권 · 5.6절 · 31번대학 수준우리말 번역

근판정법과 극한비교판정법을 사용하여 $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}$ 이 수렴하는지 판단하세요.

${a}_{n}=1/{x}_{n}^{n}$ 이고 ${x}_{n+1}=\frac{1}{2}{x}_{n}+\frac{1}{{x}_{n}},$ ${x}_{1}=1$ 입니다. (힌트: $\{{x}_{n}\}.)$ 의 극한을 구하세요.

영어 원문 보기

Use the root and limit comparison tests to determine whether $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}$ converges.

${a}_{n}=1/{x}_{n}^{n}$ where ${x}_{n+1}=\frac{1}{2}{x}_{n}+\frac{1}{{x}_{n}},$ ${x}_{1}=1$ (Hint: Find limit of $\{{x}_{n}\}.)$

정답·풀이 보기

${x}_{n}\to \sqrt{2}$ 이므로 근판정법과 극한비교판정법에 의해 수렴한다.

원본 교재 풀이(영어)

Converges by root test and limit comparison test since ${x}_{n}\to \sqrt{2}.$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 5.6절 · 1번우리말 번역

다음 문제에서 ${a}_{n}$ 이 주어질 때, 비판정법을 사용하여 $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}$ 이 수렴하는지 판단하세요. 비판정법으로 판정할 수 없으면 그렇다고 밝히세요.

${a}_{n}=1/n!$

다 풀었으면 정답 확인

${a}_{n+1}/{a}_{n}\to 0$ . 수렴한다.