비율 판정법과 근 판정법 연습문제 — OpenStax 2권 · 5.6절 · 59번

OpenStax 2권 · 5.6절 · 59번대학 수준우리말 번역

${a}_{n}={2}^{-[n/2]}$ 이라고 하자. 여기서 $[x]$ 는 $x$ 보다 크지 않은 최대 정수이다. $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}$ 이 수렴하는지 판단하고, 그 답의 근거를 설명하세요.

영어 원문 보기

Let ${a}_{n}={2}^{-[n/2]}$ where $[x]$ is the greatest integer less than or equal to $x.$ Determine whether $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}$ converges and justify your answer.

정답·풀이 보기

${a}_{1}=1,$ ${a}_{2}={a}_{3}=1/2,\ldots \,{a}_{2n}={a}_{2n+1}=1/{2}^{n}$ 이다. $n$ 이 짝수이면 ${a}_{n+1}/{a}_{n}=1$ 이므로 비판정법은 적용할 수 없다. 그러나 ${a}_{n+2}/{a}_{n}=1/2$ 이므로 앞의 연습문제에 따라 급수는 수렴한다. 물론 이 급수는 등비급수를 두 번씩 늘어놓은 것일 뿐이다.

원본 교재 풀이(영어)

One has ${a}_{1}=1,$ ${a}_{2}={a}_{3}=1/2,\ldots \,{a}_{2n}={a}_{2n+1}=1/{2}^{n}.$ The ratio test does not apply because ${a}_{n+1}/{a}_{n}=1$ if $n$ is even. However, ${a}_{n+2}/{a}_{n}=1/2,$ so the series converges according to the previous exercise. Of course, the series is just a duplicated geometric series.

한 번 더 — 비슷한 문제APEX · 8.4절 · 4번우리말 번역

근판정법은 각 항이 어떤 _____ 으로 _____ 된 급수에 특히 잘 적용된다.

다 풀었으면 정답 확인

거듭제곱된

이 문제로 이어서 풀기

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