테일러·매클로린 급수 연습문제 — OpenStax 2권 · 6.3절 · 32번

OpenStax 2권 · 6.3절 · 32번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 함수의 주어진 점을 중심으로 하는 테일러 급수를 구하세요.

${e}^{x}$ ( $a=1$ 에서)

영어 원문 보기

In the following exercises, find the Taylor series of the given function centered at the indicated point.

${e}^{x}$ at $a=1$

정답·풀이 보기

미분계수는 ${f}^{(n)}(1)=e$ 이므로 ${e}^{x}=e\sum_{n=0}^{\infty }\frac{{(x-1)}^{n}}{n!}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

The derivatives are ${f}^{(n)}(1)=e$ so ${e}^{x}=e\sum_{n=0}^{\infty }\frac{{(x-1)}^{n}}{n!}.$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 6.3절 · 24번우리말 번역

다음 연습문제에서, $[a-R,a+R]$ 에서 나머지 추정식 $|{R}_{1}|\le \frac{\max |{f}^{''}(z)|}{2}{R}^{2}$ 의 우변의 최댓값은 a 또는 $a\pm R$ 에서 나타난다. 이 최댓값을 R 의 함수로 그래프를 그려서, $[a-R,a+R]$ 에서 $\frac{\max |{f}^{''}(z)|}{2}{R}^{2}\le 0.1$ 을 만족시키는 R 의 최댓값을 어림하세요.

[계산기 사용] $\cos x$ 를 $1,a=0$ 으로 근사

다 풀었으면 정답 확인

이 그래프에는 y=0.2 인 수평선이 있다. 또한 원점에서 시작하여 아래로 볼록한 곡선이 있다. 곡선과 직선은 순서쌍 (0.44720, 0.2) 에서 만난다.

$\cos x$ 의 이계도함수는 $-\cos x$ 이고 $\cos x$ 는 $x=0$ 에서 멀어질수록 감소하므로, ${R}^{2}\cos R\le 0.2$ 즉 $R\le 0.447$ 일 때 이 추정식이 적용된다.

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